Medida (matemática)

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Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Índice

1 Medida positiva
- 1.1 Exemplos
2 Medida complexa
- 2.1 Exemplos
3 Propriedades

[editar] Medida positiva

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to[0,\infty]\,\!$ tal que:

$\mu(\emptyset)=0$
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

Positividade:

$\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,$

Monotonicidade

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,$

[editar] Exemplos

$\mu(E)=\left\{ \begin{array}{ll} 0,&E=\emptyset\\ 1,&E=S \end{array} \right.$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

Medida de Dirac:

$\delta_{x_0}(E)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,&x_0\in E\\ 0,&c.c. \end{array} \right.$

As medidas de Borel e de Lebesgue em $\R$ verificam a propriedade $\lambda[a,b]=b-a\,\!$

[editar] Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to\mathbb{C}\,\!$ tal que:

$\mu(\emptyset)=0$
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.