Exponenciação

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OPERAÇÕES MATEMÁTICAS

Aritmética

Exponenciação

Lógica

Exponenciação ou potenciação é uma operação unária usada em aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação matemática oposta à radiciação.

${{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}$

Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um número natural maior do que 1.

A exponenciação é representada por um número e o expoente sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando a base do expoente (2^3).

Índice

1 Definindo exponenciação
2 Sintaxe em linguagens de programação e programas
3 Ver também

[editar] Definindo exponenciação

Gráfico da função exponencial (base 2)

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.

Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:

$a^{(n + m)} = a^n \ a^m\,$

$a^{(n \ m)} = (a^n)^m\,$

$a > 1 \land n > m \rightarrow a^n > a^m\,$

[editar] Expoente zero

Para que

$a^{(n + m)} = a^n \ a^m\,$

continue valendo para n = 0, devemos ter:

$a^0 = 1\,$

[editar] Expoentes inteiros negativos

Para que

$a^{(n + m)} = a^n \ a^m\,$

seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.

$\,\!a^{-1}=\left (\frac{1}{a}\right )$

Então:

$\,\!a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^n={\left (\frac{1}{a}\right )}^{n}=\frac{1^n}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n}}$

Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.

Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:

$3^{-5}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\left (\frac{1}{3}\right )^5=\frac{1}{3^5}$

Pode-se provar que, com essa definição, $a^{(n + m)} = a^n \ a^m\,$ continua valendo para $n, m \in \mathbb{Z}\,$ .

[editar] Expoentes um e zero

qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.

$\,\!n^1=n$

qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

$\,\!n^0=n^1\cdot n^{-1}=n\cdot\frac{1}{n}=1$

[editar] Indeterminações

Na exponenciação, é possível chegar à formas de indeterminação a seguir:

$\,\!0^0$
$\,\!0^{n}$ , quando $\,\!n<0$
$\,\!\infty^0$

[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado

[editar] Potências de 0

As potências de 0 são as potências de base 0, dados por $0 n$ n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: $00$ , mas as outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.

[editar] Potências de 1

As potências de 1 são as potências de base 1, dados por $1 n$ , sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", $1 n$ será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.

[editar] Potências de 10

Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, $106$ é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × $108$ e então aproximada para 2.998 × $108$ . Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa $103$ = 1000, logo, um quilómetro é igual a 1000 metros.

[editar] Potências de 2

Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem $2 n$ valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = $210$ = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrões dos prefixo, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.

[editar] Expoentes fracionários

A expressão

$x^{(n + m)} = x^n \cdot x^m\,$

Pode ser usada para provar, por indução, que:

$x^{(n \cdot m)} = (x^n)^m\,$

Para que essa expressão seja válida para números racionais, devemos ter:

$x^{\frac {1} {n}} = \sqrt[n]{x}\,$

Ou, se forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.

$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a}$

[editar] Expoentes decimais

No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.

$x^{1,5} = x^{\frac{15}{10}} = \sqrt[10]{x^{15}}$

2 $9$ 3

[editar] Expoentes irracionais

Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:

$x^\pi \approx x^{3.14159}\,$

[editar] Expoentes imaginários e complexos

Graças a Euler, considera-se que:

$e^{i.x} = cos (x) + i \cdot sen (x)$

Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y:

$a^z = (e^{\log a})^z = e^{(z \cdot \log a)} = a^x \ (cos(y \ \log a) + i \cdot sen(y \ \log a))\,$

[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programas

A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:

x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel e vários outros
x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
pow(x, y): C, C++
Math.pow(x, y): Java, JavaScript
Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.

Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando $x <= 0\,$ e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.

Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário do bom-senso, uma expressão do tipo =-A1^2, que, em qualquer linguagem de programação decente significa tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.

[editar] Ver também

Categoria: Aritmética

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[editar] Expoente zero

[editar] Expoentes inteiros negativos

[editar] Expoentes um e zero

[editar] Indeterminações

[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado

[editar] Potências de 0

[editar] Potências de 1

[editar] Potências de 10

[editar] Potências de 2

[editar] Expoentes fracionários

[editar] Expoentes decimais

[editar] Expoentes irracionais

[editar] Expoentes imaginários e complexos

[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programas

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