℮ (costante matematica)

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In matematica, ℮ è una costante che, insieme a pi greco, è tra le più importanti per via delle sue numerose applicazioni, in modo particolare nell'ambito dell'analisi matematica.

Poiché è un irrazionale (e, in particolare, trascendente), non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico: la sua approssimazione con 55 cifre decimali è

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 ...

Essa talvolta viene chiamata numero di Eulero in onore del matematico svizzero Eulero, o più spesso costante di Nepero, in onore del matematico scozzese Nepero, colui che ha introdotto i logaritmi.

Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale che associa ad un numero reale $x$ il numero dato dalla potenza $e^x \,$ , e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale). In particolare in maniera formale è possibile definire $e \,$ come il valore che la funzione esponenziale $e^x \,$ assume in 1.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Storia
4 Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni
5 Curiosità
6 Note
7 Bibliografia
8 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione

Il numero e può essere definito in uno dei seguenti modi equivalenti:

come il valore del limite

$e := \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ;

come la somma della serie

$e := \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

(Qui n! sta per il fattoriale di n).

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data qui sotto. Entrambe le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire e coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in $x = 1$ della funzione $f (x)$ soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale $f^\prime(x)=f(x)$ con condizioni iniziali $f (0) = 1$ .

[modifica] Proprietà

[modifica] Numero irrazionale e trascendente

Per approfondire, vedi le voci dimostrazione della irrazionalità di e e dimostrazione della trascendenza di e.

Il numero e è irrazionale e più precisamente un numero trascendente, cioè un numero reale costruibile non algebrico. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito specificamente per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici (come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville). Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume inoltre che esso sia un numero normale.

[modifica] Formula di Eulero

La costante e compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

$e^{ix} = \cos(x) + i\,\mathrm{sen}(x) \,\!$

(Qui $i$ indica l'unità immaginaria). Il caso particolare con x = π è noto come identità di Eulero:

$e^{i\pi}+1=0 \,\!$ ;

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

[modifica] Frazione continua

Lo sviluppo di e come frazione continua infinita è espresso dalla seguente interessante configurazione:

$e - 1 = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots]$

[modifica] Storia

La prima bibliografia sulla costante è stata pubblicata nel 1618 nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi da John Napier. Tuttavia questa non riguarda direttamente la costante, ma semplicemente un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Si presume che la tavola fosse stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di e come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Da questa espressione, però, risulta difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La prima citazione della costante, rappresentata dalla lettera b compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens nel 1690 e 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera e per la costante nel 1727, e il primo uso di e in una pubblicazione compare nella Mechanica di Eulero (1736). Mentre negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera c, l'uso di e si è fatto più comune ed oggi è usato come simbolo tipico per la costante.

Si sostiene anche che e sia stata usata sia dai greci antichi che dagli egizi, rispettivamente per la costruzione del Partenone e della grande piramide, in quanto in queste costruzioni si trovano lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore. I greci antichi usavano per questa costante l'appellativo Αρμονικός σταθερά o costante armonica, la denotavano con la lettera ε e usavano per essa il valore 2.72.

Le esatte motivazioni per la scelta della lettera e non sono note, ma si può supporre che sia dovuta al fatto che la lettera e è l'iniziale della parola esponenziale.^[1] Un'altra motivazione sta nel fatto che le lettere a, b, c, e d venivano già frequentemente usate per altri oggetti matematici ed e era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto sua iniziale, poiché il numero non era una sua scoperta, ma era già ampiamente noto ai matematici dell'epoca.

[modifica] Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni

La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

$s_n := \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}~,$

$t_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n ~.$

Dal teorema binomiale,

$t_n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}\frac{1}{n^k}=1+1+\sum_{k=2}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k!\,n^k}$

$=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\le s_n$

tale che

$\limsup_{n\to\infty}t_n \le \limsup_{n\to\infty}s_n = e ~.$

Qui deve essere usato limsup, poiché non è ancora noto che t_n converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di t_n, se 2 ≤ m ≤ n, abbiamo

$1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\le t_n$

Fissato m si fa tendere n all'infinito. Otteniamo

$s_m = 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{m!} \le \liminf_{n\to\infty}t_n$

(di nuovo, dobbiamo usare liminf poiché non è ancora garantito che t_n converge). Ora, considerando la disuguaglianza precedente, m si avvicina all'infinito, e la colloca assieme all'altra disuguaglianza. Questa diventa

$\limsup_{n\to\infty}t_n \le e \le \liminf_{n\to\infty}t_n \le \limsup_{n\to\infty}t_n$

Questo completa la dimostrazione.

[modifica] Curiosità

Nel 2004, nella formulazione dell'offerta pubblica di vendita per Google, Inc. la compagnia, piuttosto che proporre una cifra tonda di denaro, ha annunciato la sua intenzione di proporre $2.718.281.828 che, evidentemente, corrisponde ad e miliardi di dollari approssimati all'intero più vicino.
Il famoso matematico e informatico Donald Knuth fa convergere le successive versioni del programma METAFONT al numero e (le versioni sono 2; 2,7; 2,71; 2,718; ...).

[modifica] Note

^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, ISBN 88-04-33431-2.

[modifica] Bibliografia

Eli Maor: e: The Story of a Number, ISBN 0691058547

[modifica] Collegamenti esterni

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Categorie: Costanti matematiche | Numeri trascendenti

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