Teorema binomiale

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Il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-ma di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

$(a+b)^n_{} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}$

in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale. La formula vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,$

Prima dimostrazione

Il Teorema binomiale può essere dimostrato per induzione.

Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

$(a+b)^1_{} = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

$(a+b)^n_{} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^{k}$

sicuramente vera per n=1

si ha

$(a+b)^{n+1}\,$ $=(a+b)(a+b)^n\,$

$=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

$=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} b^{k+1}$

da cui, essendo

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}$ $= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}$

$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$

$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}$

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}$ $= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

$(a+b)^{n+1} \,$ $={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1} \,$

$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$

$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1}$

essendo infine $\ {n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1$ e $\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1$

si ha che

$\ {n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1} b^{n+1}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

$\ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k} a^{(n+1)-k}b^{k}$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione

Se scriviamo $(a+b)^n_{}$ come il prodotto

$(a+b)(a+b)(a+b)\,$ $\ldots$

con n fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{(n-k)} b^{k}_{}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k\,$ volte $a\,$ e $k\,$ volte $b\,$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$ .