Binomischer Lehrsatz

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Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}$

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

Dieser Satz zählt in seiner allgemeinen Form mit einem reellen oder gar komplexen Exponenten zu den erstaunlichsten mathematischen Theoremen. Auf einer 1999 veröffentlichten Liste der 100 erstaunlichsten mathematischen Sätze^[1] ist er auf Platz 44 gelistet.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x + y) n$ auszumultiplizieren ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten
2 Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten
3 Literatur
4 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in\Bbb N_0$ gilt die Gleichung:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$ . (Man beachte dabei $00 = 1$ .)

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${n \choose k} = \frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}$ ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

[Bearbeiten] Bemerkung

Die Terme ${n\choose k} x^{n-k}y^k$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${n\choose k}$ an das Ringelement $x n - k y k$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\Z$ -Modul benutzt.

[Bearbeiten] Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n = 2$ heißt erste Binomische Formel.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur $x$ und $y$ miteinander kommutieren, d.h. $x\cdot y = y\cdot x$ gilt.
Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

$(x+y)^n = x^n + [\sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k} x^{n-k}y^{k}] + y^n$ .

Für mehr als zwei Summanden gibt es den polynomischen Lehrsatz.

[Bearbeiten] Herleitung

Der Beweis [1] funktioniert durch Induktion über $n$ ; für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

[Bearbeiten] Beispiel

$(x+y)^3={3 \choose 0} x^{3} + {3 \choose 1} x^{2}y + {3 \choose 2} xy^{2} + {3 \choose 3} y^{3}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

$(x-y)^3={3 \choose 0} x^{3} + {3 \choose 1} x^{2}(-y) + {3 \choose 2} x(-y)^{2} + {3 \choose 3}(-y)^{3}=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

[Bearbeiten] Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha - k} \quad (2)$ .

Diese Reihe konvergiert für alle $x,y\in\mathbb{C}$ mit $| x / y | < 1$ .

Im Spezialfall $\alpha\in\mathbb{N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in\mathbb{C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.