Exponenciális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ – vagy rövidebben exponenciális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

ahol λ > 0.

Tartalomjegyzék

1 Az exponenciális eloszlást jellemző függvények
2 Az exponenciális eloszlást jellemző számok
3 Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága
4 Megjegyzés
5 Forrás

[szerkesztés] Az exponenciális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

$F(x) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t) = \left( 1- \frac{it}{\lambda} \right)^{-1}$

[szerkesztés] Az exponenciális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\bold E (X)=\frac{1}{\lambda}$

Szórása

$\bold D (X)=\frac{1}{\lambda}$

Momentumai

$\bold E (X ^k) = \frac{k!}{\lambda^k}$

Ferdesége

$\beta_1(X)=2 \,$

Lapultsága

$\beta_2(X)=6 \,$

[szerkesztés] Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, ... X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + ... + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, vagyis tetszőleges $x$ és $Δ x > 0$ esetén teljesül, hogy:

$P\left( X\ge x+\Delta x\ |\ X\ge x\right)=P\left(X\ge\Delta x\right)$

[szerkesztés] Megjegyzés

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen a ∈ R értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)