指数分布

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**指数分布**
zh-hans:概率;zh-hant:機率密度函數
累積分佈函數
參數	$\lambda > 0 \,$ 率
支撑集	$x \in [0;\infty)\!$
zh-hans:概率密度函數;zh-hant:機率密度函數	$\,\lambda e^{-\lambda x}$
累積分佈函數	$1 - e - λ x$
期望值	$\lambda^{-1}\,$
中位數	$\ln(2)/\lambda\,$
眾數	$0\,$
方差	$\lambda^{-2}\,$
偏度	$2\,$
峰度	$6\,$
信息熵	$1 - \ln(\lambda)\,$
動差生成函數	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
特性函数	$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

[编辑] 指数分布描述

[编辑] 机率密度函数

一个指数分布的机率密度函数是：

$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）。

[编辑] 累积分布函数

累积分布函数可以写成：

$F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

[编辑] 特性

[编辑] 均值和方差

随机变量X (X 的率参数是λ) 的期望值是：

$\mathbf{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$

比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

$\mathbf{V}[X] = \frac{1}{\lambda^2}$

[编辑] 无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

$P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t \ge 0.$

[编辑] 四分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

$F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}, \!$

第一四分位数： $\ln(4/3)/\lambda\,$
中位数： $\ln(2)/\lambda\,$
第三四分位数： $\ln(4)/\lambda\,$

[编辑] 参数估计

[编辑] 最大似然法

给定独立同分布样本x = (x₁, ..., x_n)，λ的似然函数（Likelihood function）是：

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline{x}\right)$

其中：

$\overline{x}={1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i$ 是样本均值。

似然函数对数的导数是：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( n \ln(\lambda) - \lambda n\overline{x} \right) = {n \over \lambdan\overline{x}\ \left\{\begin{matrix} > 0 & \mbox{if}\ 0 < \lambda < 1/\overline{x}, \\ \\ = 0 & \mbox{if}\ \lambda = 1/\overline{x}, \\ \\ < 0 & \mbox{if}\ \lambda > 1/\overline{x}. \end{matrix}\right.$ }-

率参数的最大似然（Maximum likelihood）估计值是：

$\widehat{\lambda} = \frac1{\overline{x}}$

[编辑] 参考

Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

	单随机变量	多随机变量
	概率分布 [ zh-hans:;zh-hant:zh-hans:查看;zh-hant:檢視 • zh-hans:;zh-hant:討論 • zh-hans:;zh-hant:編輯 • zh-hans:;zh-hant:歷史 ]
离散概率分布	伯努利分布 • 二項分佈 • 玻耳兹曼分布 • 复合泊松分布 • 退化分布 • Gauss-Kuzmin分布 • 幾何分佈 • 超几何分布 • 对数分布 • 负二项分布 • 抛物线分形分布 • zh-hans:泊松分布;zh-hant:卜氏分配 • Rademacher分布 • Skellam分布 • 離散型均勻分佈 • Yule-Simon分布 • ζ分布 • 齐夫分布 • 齐夫-曼德尔布罗特定律	Ewens抽样公式 • 多项分布
连续概率分布	β分布 • Beta prime • 柯西分布 • 卡方分佈 • 狄拉克δ函数 • Erlang • 指数分布 • 广义误差分布 • F-分布 • fading • Fisher's z • Fisher-Tippett • Gamma • generalized extreme value • generalized hyperbolic • 广义逆高斯分布 • Half-Logistic • Hotelling's T-square • hyperbolic secant • 超指数分布 • hypoexponential • inverse chi-square • 逆高斯分布 • inverse gamma • Kumaraswamy • Landau • 拉普拉斯分布 • Lévy • 稳定分布 • logistic • 对数正态分布 • 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 • Maxwell speed • 正态分布 • Pareto • Pearson • polar • raised cosine • Rayleigh • relativistic Breit-Wigner • 萊斯分配 • 學生t-分佈 • 三角形分布 • type-1 Gumbel • type-2 Gumbel • 連續型均勻分布 • Voigt • von Mises • 韋氏分配 • Wigner semicircle	Dirichlet • Kent • 矩陣常態分配 • 多變量常態分配 • von Mises-Fisher • Wigner quasi • Wishart
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分类: 连续概率分布 | 指数

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