התפלגות מעריכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שם ההתפלגות
פונקציית צפיפות ההסתברות

פונקציית ההסתברות המצטברת

מאפיינים
פרמטרים	$\ \lambda>0$
תומך	$x \in [0;\infty)\!$
פונקציית צפיפות ההסתברות (pdf)	$\,\lambda e^{-\lambda x}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ 1 - e^{-\lambda x}$
תוחלת	$\lambda^{-1}\,$
חציון	$\ln(2)/\lambda\,$
ערך שכיח	$0\,$
שוֹ‏נוּ‏ת	$\lambda^{-2}\,$
אנטרופיה	$1 - \ln(\lambda)\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
צידוד	$\ 6$
גבנוניות	$\ 2$

התפלגות מעריכית (Exponential Distribution) היא התפלגות רציפה על החצי האי-שלילי של הישר הממשי, שפונקציית הצפיפות שלה $\ f_X(t) = \frac{1}{\tau} e^{- t / \tau}$ , עבור פרמטר $\ \tau>0$ קבוע. את ההתפלגות מסמנים ב- : $\ Exp(1/\tau)$ .

משפחה זו של התפלגויות מיוחדת בתכונת חוסר הזיכרון שלה: אם X משתנה מעריכי, אז ההתפלגות המותנית של $\ X-s$ , בהינתן $\ X>s$ , גם היא מעריכית עם אותו פרמטר. פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מעריכי X היא $\ P(X \leq t) = 1 - e^{- t / \tau}$ , והפרמטר $\ \tau$ שווה לתוחלת; התוחלת קרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות. כאשר עוסקים בתהליך שזמן ההתרחשות שלו מעריכי, הפרמטר $\ \lambda = 1/\tau$ הוא הקצב, או קבוע הדעיכה של התהליך.

בגלל אופיה חסר הזיכרון, ההתפלגות המעריכית מתארת תופעות אקראיות, שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן. דוגמאות לתופעות כאלה הן התפרקות רדיואקטיבית, הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי, וכדומה.

[עריכה] פרמטרים

התוחלת של ההתפלגות היא $τ$ .
השונות היא $τ 2$ , ולכן סטיית התקן שלה ההתפלגות שווה לתוחלת שלה.
החציון של ההתפלגות הוא $\ \log(2)\cdot\tau$ . בתופעות של דעיכה בזמן, פרמטר זה נקרא זמן מחצית החיים.
אם $\ X_i \sim \exp( \lambda_i)$ הם n משתנים בלתי תלויים המתפלגים מעריכית, אז גם המינימום $\ \min( X_1, \cdots , X_n) \sim \exp \left( \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} \right)$ מתפלג מעריכית, עם קבוע דעיכה השווה לסכום קבועי הדעיכה של כל ההתפלגויות האחרות. בפרט, המינימום של n משתנים מעריכיים עם תוחלת $\ \lambda$ , הוא משתנה מעריכי המתפלג מעריכית, עם תוחלת $\ \lambda/n$ .
אם $\ X_i \sim \exp(\lambda)$ הם n משתנים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות מעריכית, אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של המקסימום שלהם, $\ X=\max\{X_1,\dots,X_n\}$ , היא $\ P(X<a) = (1-e^{-a/\tau})^n$ . התוחלת של המקסימום היא $\ H_n\cdot \tau$ , כאשר $\ H_n = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$ הוא סכום הטור ההרמוני.

[עריכה] התפלגויות קרובות

אם U מתפלג בצורה אחידה בקטע [0,1] אזי $\ X = \frac{-1}{\lambda} \ln{U}$ מתפלג מעריכית עם קבוע דעיכה $λ$ . זוהי דרך יעילה מאוד לממש או לבצע סימולציה של משתנה מקרי מתפלג מעריכית באמצעות משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד, היא שימושית גם בתכנות ובמדעי המחשב.
ההתפלגות המעריכית קשורה באופן הדוק להתפלגות פואסון. נניח שבידנו מספר כלשהו של נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג $\ X \sim \exp(\lambda)$ (מתפלג מעריכית עם אותו קבוע דעיכה). נחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד. ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה. ברגע שגם היא נשרפת מדליקים את הנורה השלישית וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y שנשרפות עד זמן $\ t_0$ מתפלג פואסונית עם ממוצע (תוחלת) של $λ t 0$ , כלומר: $\ Y \sim \mbox{Pois}(\lambda t_0)$ או באופן מפורש $\ P( Y = k) = e^{-\lambda t_0} \frac{ (\lambda t_0)^k}{k!}$ .
התפלגות מעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא עם פרמטר צורה ששווה ל-1. בפרט, היא מקרה פרטי של התפלגות ארלנג עם n=1.
ההתפלגות $Y \sim \mathrm{Weibull}(\gamma, \lambda)$ היא התפלגות וייבול אם $Y = X^{1/\gamma}\,$ ו $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ מתפלג מעריכית. בפרט, התפלגות מעריכית היא התפלגות וייבול (γ = 1).
$Y \sim \mathrm{Rayleigh}(1/\lambda)$ היא התפלגות ריילי אם $Y = \sqrt{2X/\lambda}$ ו $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ .
$Y \sim \mathrm{Gumbel}(\mu, \beta)$ היא התפלגות גאמבל אם $Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\,$ ו $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ .
$Y \sim \mathrm{Laplace}$ היא התפלגות לפלס אם $Y = X 1 - X 2$ עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים מעריכית.
נניח שבידינו n נורות בלתי תלויות שכל אחת מהן מתפלגת $\ X \sim \exp(\lambda)$ , אזי $\ \sum_{i=1}^{n}{X_i} ~ \Gamma (n, \lambda)$ . התפלגות זו נקראת התפלגות ארלנג.
$X \sim \chi_2^2$ היא התפלגות חי בריבוע (עם 2 דרגות חופש) אם $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda = 2)$ .