Deltoïde (courbe)

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La courbe en rouge est une deltoïde.

La deltoïde n'est autre qu'une hypocycloïde à trois rebroussements. Elle fut étudiée pour la première fois par Léonard Euler en 1745.

[modifier] Équations cartésiennes

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon a roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon 3a, on obtient l'équation paramétrique suivante :

La deltoïde comme enveloppe d'un segment dont les extrémités sont astreintes à suivre la courbe

L'équation cartésienne est de la forme :

(x² + y²)² + 18(x² + y²) = 8x³ − 24y²x + 27

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zero.

[modifier] Propriétés géométriques

1. Une règle dont les deux extrémités sont astreintes à glisser sur la deltoïde vient tangenter la deltoïde en un troisième point : le point de tangence décrit deux fois la deltoïde lorsque les extrémités ne la décrivent qu'une fois.
2. L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (théorème dû à Jakob Steiner).
3. La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne

x³ − x² − (3x + 1)y² = 0, Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :

x³ − x² + (3x + 1)y² = 0 courbe qui présente un point double à l'origine dans .

[modifier] Références

• Jacques Hadamard - On the three-cusped hypocycloid (1945), Mathematical Gazette, vol. 29, pp. 66-67

[modifier] Voir aussi

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