球坐標系

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用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 來表示一個點的位置

在數學裏，球坐標系是一種三維正交坐標系，專門用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 來表示一個點 p 在三維空間的位置（參考圖右）：原點與點 P 之間的徑向距離 $r\,\!$ ，原點到點 P 的連線與正 z-軸之間的天頂角 $\theta\,\!$ ，以及原點到點 P 的連線，在 xy-平面的投影線，與正 x-軸之間的方位角 $\phi\,\!$ 。

[编辑] 標記

在學術界內，關於球坐標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、天頂角、方位角，分別標記為 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 。這種標記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學者也採用這種標記。而在數學界，天頂角與方位角的標記正好相反： $\phi\,\!$ 被用來代表天頂角； $\theta\,\!$ 被用來代表方位角。數學界的球坐標標記是 $(\rho,\ \phi,\ \theta)\,\!$ 。這種標記的優點是較廣的相容性；在二維極坐標系與三維圓柱坐標系裏， $\rho\,\!$ 都同樣地代表徑向距離， $\theta\,\!$ 也都同樣地代表方位角。本頁面採用的是物理標記約定。

[编辑] 定義

球坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $r=2\,\!$ 。藍色圓錐面的 $\theta=45^{\circ}\,\!$ 。黃色半平面的 $\phi= - 60^{\circ}\,\!$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\phi\right|\,\!$ ）。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 $(0.707, -1.225, 1.414)\,\!$ 。

假設 P 點在三維空間的位置的三個坐標是 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 。那麼，

$r \ge 0\,\!$ 是從原點到 P 點的距離，
$0\le \theta \le \pi\,\!$ 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角，
$0\le \phi \le 2\pi\,\!$ 是從原點到 P 點的連線在 xy-平面的投影線，與正 x-軸的夾角。

這裏， $\theta\,\!$ 代表天頂角， $\phi\,\!$ 代表方位角。當 $r=0\,\!$ 時， $\theta\,\!$ 與 $\phi\,\!$ 都一起失去意義。當 $\theta = 0\,\!$ 或 $\theta = \pi\,\!$ 時， $\phi\,\!$ 失去意義。

如想要用球坐標，找出點 P 在空間的地點，可按照以下步驟：

從原點往正 z-軸移動 $r\,\!$ 單位，
用右手定則，大拇指往 y-軸指，x-軸與 z-軸朝其他手指的指向旋轉 $\theta\,\!$ 角值，
用右手定則，大拇指往 z-軸指，x-軸與 y-軸朝其他手指的指向旋轉 $\phi\,\!$ 角值。

[编辑] 坐標系變換

三維空間裏，有各種各樣的坐標系。球坐標系只是其中一種。球坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

[编辑] 直角坐標系

更多資料：直角坐標系

用以下方程式，可以從直角坐標得到球坐標：

${r}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\,\!$ ，

${\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)\,\!$ ，

${\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)\,\!$ 。

特別注意，必須依照 $(x,\ y)\,\!$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

反過來，可以從球坐標得到直角坐標：

$x=r \sin\theta \cos\phi\,\!$ ，

$y=r \sin\theta \sin\phi\,\!$ ，

$z=r \cos\theta\,\!$ 。

[编辑] 地理坐標系

更多資料：經緯度

地理坐標系是球坐標系的第二個版本。它主要是用在地理學。通常在地理學裏， $\rho\,\,\!$ 會被用來表示高度，或者完全不被使用。

緯度的定義域是 $0^\circ \le \delta \le 90^\circ\,\!$ ，南緯或北緯。緯度 $\delta\,\!$ 可以由天頂角轉換求得：

$\theta \le 90^\circ\,\!$ ：北緯， $\delta=90^\circ - \theta\,\!$ ，
$\theta \ge 90^\circ\,\!$ ：南緯， $\delta=\theta - 90^\circ\,\!$ 。

經度 $\lambda\,\!$ 的定義域是 $- 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ\,\!$ 。設定經過倫敦格林維治天文台的子午線為經度 $0^\circ\,\!$ ，往東或往西 $\lambda\,\!$ 度。經度的轉換公式為

$\phi\le 180^\circ\,\!$ ：往東， $\lambda=\phi\,\!$ 。
$\phi\ge 180^\circ\,\!$ ：往西， $\lambda=360^\circ - \phi\,\!$ 。

[编辑] 圓柱坐標系

用圓柱坐標來表示一個點的位置

更多資料：圓柱坐標系

圓柱坐標系是極坐標系在三維空間往 z-軸的延伸。 $z\,\!$ 坐標用來表示高度。圓柱坐標 $(\rho,\ \phi,\ z)\,\!$ 可以用以下方程式轉換為球坐標：

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}\,\!$ ，

$\theta=\arctan\frac{\rho}{z}\,\!$ ，

$\phi=\phi\,\!$ 。

反過來，球坐標也可以用以下方程式轉換為圓柱坐標：

$\rho=r\sin\theta\,\!$ ，

$\phi=\phi\,\!$ ，

$z=r\cos\theta\,\!$ 。

[编辑] 標度因子

球坐標系的標度因子分別為：

$h_{r} =1\,\!$ ，

$h_{\theta} =r\,\!$ ，

$h_{\phi} =r\sin\theta\,\!$ 。

無窮小體積元素是

$dV =r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi\,\!$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^2 \Phi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial \Phi \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial \Phi \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2}\,\!$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}\,\!$ ， $\nabla \times \mathbf{F}\,\!$ ，都可以用 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

[编辑] 應用

地理坐標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上，二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是１。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角坐標方程式為 $x^2+y^2+z^2=c^2\,\,\!$ ，可以簡易的用球坐標系 $\rho =c\,\,\!$ 來表示。

當求解三重積分 (multiple integral) 時，如果定義域為圓球，則面積元素是

$dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\!$ ；

體積元素是

$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\,\!$ 。

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的坐標系，莫非是球坐標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式, 拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球坐標裏，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數的形式。

球坐標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標 (n-sphere)。

[编辑] 參閱

n-sphere

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座標系統

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