扁球面坐標系
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。藍色半雙曲面的 
。黃色半平面的 
（黃色半平面與 xz-半平面之間的
）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），
。
-等值線）變成上圖的紅色扁球面（ 坐標曲面），而 
青藍色雙曲線（ 
-等值線）則變成藍色半雙曲面（ 坐標曲面）。扁球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 
與 
的直角坐標分別為 
與 
。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 
的圓圈，包含於三維空間的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。
當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於皮蘭摩擦因子 (Perrin friction factors) 的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·巴蒂斯特·皮蘭因此而榮獲 1926 年諾貝爾物理獎。皮蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散 (rotational diffusion) 。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學 (protein NMR) ，的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的介電常數），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。
目录 |
[编辑] 第一種表述
在三維空間裏，一個點 P 的扁球面坐標 
常見的定義是
，
，
。
其中，
是個實數，角度 
，角度 
。
學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。
[编辑] 坐標曲面
坐標曲面是扁球面 ：
。
它們是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著 x-軸，長半軸長度為 
，沿著 z-軸，短半軸長度為 
。橢圓的焦點都包含於 x-軸，x-坐標分別為 
。
坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：
。
假若 是正值，
也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在 xy-平面以上；假若是負值，則在 xy-平面以下。 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在 x-軸，x-坐標分別為 。
坐標曲面是個半平面 ：
。
[编辑] 逆變換
扁球面坐標 可以用直角坐標 
來表達。方位角 的公式為
。
設定 
與 
分別為點 P 與焦圓的最遠距離與最近距離，表達為
，
。
坐標 表達為
，
。
[编辑] 標度因子
扁球面坐標 與 的標度因子相等：
。
方位角 的標度因子為
。
無窮小體積元素是
。
![\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)}
\left[
\frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu}
\left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) +
\frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu}
\left( \cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right)
\right] +
\frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\,\!](../../../../math/6/9/3/693c8a2850ac35b47c296a7d1e79fb6e.png)
其它微分算子，像 
， 
，都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
[编辑] 第二種表述
另外有一組有時會用到的扁球面坐標 
；其中，
，
[1] 。
坐標曲面是個扁球面，
坐標曲面是個旋轉雙曲面。
從直角坐標轉換至扁球面坐標：
，
，
。
其中，實數 
，實數 
，角度 。
[编辑] 標度因子
扁球面坐標 的標度因子分別為:
，
，
。
無窮小體積元素是
。
![\nabla^{2} V =
\frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \zeta} \left[
\left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \xi} \left[
\left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)}
\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}
\,\!](../../../../math/4/c/0/4c02abfe7dbcbdb1b08b2ce63731a0fe.png)
。
[编辑] 第三種表述
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 
[2] ：
，
，
。
坐標 
必須大於或等於 1 。坐標 
必須在正負 1 之間。 坐標曲面是扁球面。 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 
映射至一組扁球面坐標系 ）。這雙重簡併可以從直角坐標轉換至扁球面坐標的公式觀察到：
，
，
。
坐標 與 有一個簡單的公式來表達任何一點 P 與焦圓的最遠距離 ，最近距離 ：
，
。
所以，點 P 與焦圓的最遠距離是 
，點 P 與焦圓的最近距離是 
。
[编辑] 坐標曲面
坐標曲面是扁球面 ：
坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：
坐標曲面是半個平面 ：
- 。
[编辑] 標度因子
扁球面坐標 的標度因子分別為:
，
，
。
無窮小體積元素是
。
![\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[
\left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\,\!](../../../../math/8/9/1/891fe7f932f6cce83a96488df1791b2a.png)
。
其它微分算子，像 ， ，都可以用 
坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。
[编辑] 參閱
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|---|---|
| 正交坐標系 | 正交坐標系 |
| 二維坐標系 | 直角坐標系 · 極坐標系 · 拋物線坐標系 · 雙極坐標系 · 雙角坐標系 · 雙心坐標系 · 雙曲坐標系 · 橢圓坐標系 |
| 三維坐標系 | 直角坐標系 · 圓柱坐標系 · 球坐標系 · 三維拋物線坐標 · 拋物柱面坐標系 · 拋物面坐標系 · 扁球面坐標系 · 長球面坐標系 · 橢球坐標系 · 橢圓柱坐標系 · 圓環坐標系 · 雙球坐標系 · 雙極圓柱坐標系 · 圓錐坐標系 · Flat-Ring cyclide coordinates · Flat-Disk cyclide coordinates · Bi-cyclide coordinates · Cap-cyclide coordinates |
| 座標系統 | |
[编辑] 參考文獻
[编辑] 參考目錄
[编辑] 不按照命名常規
- Morse PM, Feshbach H（1953）．Methods of Theoretical Physics, Part I．New York：McGraw-Hill，p. 662． 採用
、
、
。
- Zwillinger D（1992）．Handbook of Integration．Boston, MA：Jones and Bartlett，p. 115．ISBN 0-86720-293-9． 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用
來替代 
。
- Smythe, WR（1968）．Static and Dynamic Electricity，3rd ed.，New York：McGraw-Hill．
- Sauer R, Szabó I（1967）．Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs．New York：Springer Verlag，p. 98． 採用混合坐標
、
、 。
[编辑] 按照命名常規
- Korn GA, Korn TM（1961）．Mathematical Handbook for Scientists and Engineers．New York：McGraw-Hill，p. 177． 採用第一種表述 ，又加介紹了簡併的第三種表述 。
- Margenau H, Murphy GM（1956）．The Mathematics of Physics and Chemistry．New York：D. van Nostrand，p. 182． 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度
來替代緯度 。
- Moon PH, Spencer DE（1988）．“Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ)”，Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions，corrected 2nd ed., 3rd print ed.，New York：Springer Verlag，pp. 31–34 (Table 1.07)．ISBN 0-387-02732-7． Moon and Spencer 採用餘緯度常規 ，又改名 為
。
[编辑] 特異命名常規
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP（1984）．Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics)，2nd edition，New York：Pergamon Press，pp. 19–29．ISBN 978-0750626347． 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。
