切比雪夫總和不等式

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數學上的切比雪夫總和不等式，或切比雪夫不等式，以切比雪夫命名。它可以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小：

若

$a_1 \geq a_2 \ge \cdots \geq a_n$

和

$b_1 \geq b_2 \ge \cdots \geq b_n$ ，

則有

$n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right) \ge n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$ 。

上式也可以寫作

$\frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\frac1n \sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\frac1n \sum_{k=1}^n b_k\right) \ge \frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$ 。

它是由排序不等式而來。

[编辑] 证明

设有

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,$

且

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,$

由排序不等式可知，最大的和为顺序和：

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

于是有：

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

将这 $n$ 个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

两边都除以 $n 2$ ，就得到切比雪夫不等式的第一个不等号:

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

同理，右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。

[编辑] 积分形式

切比雪夫不等式的积分形式如下:

若 f 和 g 是区间 [0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有

$\int fg \geq \int f \int g.\,$

上式可推广到任意区间。

[编辑] 相关条目

排序不等式

[编辑] 外部鏈結

Mathworld: Chebyshev Sum Inequality

分类: 不等式

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