Неравенство Чебышёва для сумм

В теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва - см. Неравенство Чебышёва (теория вероятностей).

Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Аналогично, если

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

[править] Доказательство

Неравенство Чебышева для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,$

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,$

В виду перестановочного неравенства выражение

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

получаем

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

или, разделив на $n 2$ :

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышева для сумм:

Если f и g - это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

$\int_0^1 fg \geq \int_0^1 f \int_0^1 g.\,$