佩多不等式

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幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為 $a, b, c$ ，面積為 $f$ ，第二個三角形的邊長為 $A, B, C$ ，面積為 $F$ ，那麼：

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff$ ，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是 $a / A = b / B = c / C$ 。

[编辑] 证明

- 由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

16 f 2 = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c - a) = (a 2 + b 2 + c 2) 2 - 2(a 4 + b 4 + c 4)

16 F 2 = (A + B + C)(A + B - C)(A - B + C)(B + C - A) = (A 2 + B 2 + C 2) 2 - 2(A 4 + B 4 + C 4)

再由柯西不等式，

16 F f + 2 a 2 A 2 + 2 b 2 B 2 + 2 c 2 C 2

$\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}$

= (a 2 + b 2 + c 2)(A 2 + B 2 + C 2)

于是，

$16Ff\leq A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2$

= A 2 (b 2 + c 2 - a 2) + B 2 (a 2 + c 2 - b 2) + C 2 (a 2 + b 2 - c 2)

，命题得证。

等号成立当且仅当 $a / A = b / B = c / C = f / F$ ,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合

- 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数 $λ 2$ ，使得 $λ A = a$ ，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。

设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。

考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

$AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB \cdot BA' \cos (\angle B-\angle B')$

$=c^2+z^2-2cz(\cos \angle B \cos \angle B'+\sin \angle B \sin \angle B')$

将 $\cos \angle B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} , \cos \angle B' = \frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}$ , $\sin \angle B = \frac{2f}{ac}, \sin \angle B' = \frac{2F'}{xz}$ 代入就变成：

$0\leq AA'^2=c^2+z^2-2cz(\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F'f}{acxz})$

两边化简后同时乘以 $\frac{1}{\lambda^2}$ ，并注意到a=x，就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

分类: 不等式 | 三角学

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