Ungleichung von Pedoe
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Ungleichung von Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke.
Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung:
Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.
Man beachte, dass der Rechenausdruck auf der linken Seite nicht nur bezüglich der sechs Permutationen der Menge { (A,a), (B,b), (C,c) } von geordneten Paaren symmetrisch ist, sondern auch — vielleicht weniger offensichtlich — bezüglich der Vertauschung von A mit a, B mit b und C mit c. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine symmetrische Funktion des gegebenen Paares von Dreiecken.
[Bearbeiten] Literatur
- "A Two-Triangle Inequality", Daniel Pedoe, The American Mathematical Monthly,
volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
- "An Inequality for Two Triangles", D. Pedoe, Proceedings of the Cambridge Philosophical
Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.
