二體問題
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在經典力學，求出兩個不受外力影響的質點的運動，稱為二體問題。這是天體力學上重要的問題，應用有行星環繞恆星、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運行、等等。
二體問題可以表述為兩個互不相依的單體問題。單體問題研究一個質點因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有全解，其相關的二體問體也可解析。顯然不同地，三體問題（或者更複雜的多體問題）直到現在，除了特別案例以外，並沒有解析解。
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[编辑] 問題說明
設位置向量 
和 
為兩個質點的位置，設 
和 
為其質量。問題的目標是對於任何時間 
，求出軌道函數 
及 
。用數學語言來說，就是，給定初始位置
、
初始速度
、
與兩個質點的質量
，
將 和 寫成一個 的函數。
根據牛頓第二定律：
，(1)
；(2)
其中， 
表示物件 B 作用在物件 A 的力。
將公式 (1) 與公式 (2) 相加，則可得到一個公式，專門描述兩個質點的質心的運動。而公式 (1) 與公式 (2) 的減差，則描述兩個質點的相對位置向量 
隨著時間的改變。將這兩個不相依的單體問題的解答結合起來，就可以求得 及 的軌道。
[编辑] 兩個質點的質心運動（第一個單體問題）
質心的位置由兩個質點位置和質量所定，為
。
其加速度為：
。
根據上面(1)、(2)式，和牛頓第三定律可得：
。
因此質心並無加速度，其速度 
為常數向量 
：
。
[编辑] 兩個質點的相對運動（第二個單體問題）
將公式 (1) 與 (2) 分別除以 
與 
，得到的答案的減差為
。
其中，
是兩個質點的相對位置向量， 是個從質點 2 位置指到質點 1 位置的位移向量。
應用牛頓第三定律，則 
。所以，
。
兩個質點之間的作用力應該只是相對位置 的函數，而不是絕對位置 、 的函數。否則，無法滿足物理的平移對稱 ；也就是說，物理定律會因地而易。這樣，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。為了避免這不合意的答案，我們要求，兩個質點之間的作用力只是相對位置 的函數。這樣，
；
其中，
是約化質量；
。
一旦我們求到 
與 
的解答，就可以計算出兩個質點的軌道 與 的公式：
，
。
[编辑] 角動量守恆
兩個質點的總角動量 
為
其中，
是質心對於原點的角動量，
是兩個質點對於質心的角動量：
，
。
由於 
是常數 ，
；
其中，
是質心的初始位置。
為了簡化分析，設定質心的初始位置為 
。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，
。
。
兩體問題的總力矩 
是
。
在物理學裏，我們時常會遇到連心力。例如，萬有引力、靜電力、等等。假若，作用力 
是連心力，與 同直線，則總力矩 等於 0 。由於角動量守恆定律，
。
總角動量 是個常數。而且，
。
兩個質點的運動軌道必定包含於一個垂直於 的平面。兩個質點運動於一個平面上。
但是，並不是每一種力都是連心力。假若，兩個質點是電荷。由畢奧-薩伐爾定律與洛侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 不等於 0 。總角動量不守恆；原因是還有角動量並沒有被保括在內。如果，我們將電磁的角動量計算在內，角動量守恆定律仍舊成立[1]。
[编辑] 參閱
[编辑] 參考文獻
- Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)。
- ^ （英文）Goldstein, Herbert（1980）．Classical Mechanics，3rd，United States of America：Addison Wesley，pp. 7-8．ISBN 0201657023．
