קוואדראטצאל

פֿון װיקיפּעדיע

דער אַרטיקל איז אין מיטן באַאַרבעטן. און עס קען עס זיין קורץ, אומפארשטענדלעך אד"ג. איר קענט העלפן אים פארברייטערן מיט פארזיכטיקייט. דער מוסטער קען בלײַבן ביז צװײ װאָכן אָן דײַטיקע ענדערונגען.

אין מאטעמאטיק, איז א קוואדראטצאל א גאנצע צאל וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל , 9 איז א קוואדראטצאל , ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען נישט-נעגאטיוו. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר קוואדראט ווארצל איז אויך א גאנצע צאל. למשל, √9 = 3, טא איז 9 א קוואדראטצאל.

געוויינלעך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער n נישט דעם פראדוקט n × n, נאר דעם עקוויוואלענט עקספאנענציאציע n², ארויסגערעדט "n קוואדראטירט". זענען דא קוואדראטצאלן ביז n (עד ועד בכלל).

אינהאַלט 1 ביישפילן 2 אייגנקייטן 3 Odd and even square numbers 4 Chen's theorem 5 Further reading 6 External links

[בעאַרבעטן] ביישפילן

די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען:

[בעאַרבעטן] אייגנקייטן

דער נומער m איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען m פונקטן אין א קוואדראט:

12=1
22=4
32=9
42=16
52=25

די nטע קוואדראטצאל n² איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע n נומען (), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+'). למשל, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די nקוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (n − 1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (n − 2)טן קוואדראט, און צולייגן 2:
(n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2). למשל, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

It is often also useful to note that the square of any number can be represented as the sum 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n. For instance, the square of 4 or 4² is equal to 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. This is the result of adding a column and row of thickness 1 to the square graph of three (like a tic tac toe board). You add three to the side and four to the top to get four squared. This can also be useful for finding the square of a big number quickly. For instance, the square of 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

A square number is also the sum of two consecutive triangular numbers. The sum of two consecutive square numbers is a centered square number. Every odd square is also a centered octagonal number.

Lagrange's four-square theorem states that any positive integer can be written as the sum of 4 or fewer perfect squares. Three squares are not sufficient for numbers of the form 4^k(8m + 7). A positive integer can be represented as a sum of two squares precisely if its prime factorization contains no odd powers of primes of the form 4k + 3. This is generalized by Waring's problem.

A square number can only end with digits 00,1,4,6,9, or 25 in base 10, as follows:

1. If the last digit of a number is 0, its square ends in 00 and the preceding digits must also form a square.
2. If the last digit of a number is 1 or 9, its square ends in 1 and the number formed by its preceding digits must be divisible by four.
3. If the last digit of a number is 2 or 8, its square ends in 4 and the preceding digit must be even.
4. If the last digit of a number is 3 or 7, its square ends in 9 and the number formed by its preceding digits must be divisible by four.
5. If the last digit of a number is 4 or 6, its square ends in 6 and the preceding digit must be odd.
6. If the last digit of a number is 5, its square ends in 25 and the preceding digits must be 0, 2, 06, or 56.

An easy way to find square numbers is to find two numbers which have a mean of it, 21²:20 and 22, and then multiply the two numbers together and add the square of the distance from the mean: 22×20 = 440 + 1² = 441. This works because of the identity

(x − y)(x + y) = x² − y²

known as the difference of two squares. Thus (21–1)(21 + 1) = 21² − 1² = 440, if you work backwards.

A square number cannot be a perfect number.

[בעאַרבעטן] Odd and even square numbers

Squares of even numbers are even, since (2n)² = 4n².

Squares of odd numbers are odd, since (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

It follows that square roots of even square numbers are even, and square roots of odd square numbers are odd.

[בעאַרבעטן] Chen's theorem

Chen Jingrun showed in 1975 that there always exists a number P which is either a prime or product of two primes between n² and (n+1)². See also Legendre's conjecture.

[בעאַרבעטן] Further reading

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

[בעאַרבעטן] External links

• Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
• Fibonacci and Square Numbers at Convergence