Vieta formülleri
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.
Konu başlıkları |
[değiştir] Vieta formülleri
Eğer
derecesi olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:
Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):
şeklinde her yazabiliriz.
[değiştir] İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.
[değiştir] Vieta formüllerinin ispatı
Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:
( bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, X.'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterilebilir.
[değiştir] Ayrıca bakınız
- Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri
- en:Viete (İngilizce)
- en:Second Degree Polynomial (İngilizce)
- en:Rational root theorem (İngilizce)
- en:Fundamental theorem of algebra (İngilizce)
[değiştir] Kaynaklar
- Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
- Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
- Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.