Klein-Gordon denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

[değiştir] Matematiksel Açılım

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

$\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi$

burada

$\mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla}$ momentum operatörü, $\nabla$ ise del operatörüdür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

$E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}$

sonra, bu formüle kuvantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

$\sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi.$

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

$(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,$

burada

$\mu = \frac{mc}{\hbar} \,$

$\Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\,$ olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

[değiştir] Göreli serbest parçacık çözümü

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

$\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

Yukarıdaki ifadenin gayrigöreli versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

$\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$

Ancak elbette bu durumda,

$-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.$

engeli oluşacaktır. Gayrigöreli parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

$\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k},$

$\langle E\rangle=\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega.$

şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

$\left.\right. \langle E \rangle^2=m^2c^4+\langle \mathbf{p} \rangle^2c^2.$

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

$\left.\right. \langle E \rangle=\langle |\mathbf{p}| \rangle c.$

ilişkisine ulaşırız.

[değiştir] Aksiyom

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^4x \left(\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \phi^2 \right)$

burada $φ$ Klein-Gordon alanını, $m$ ise kütleyi ifade etmektedir.

[değiştir] Ayrıca bakınız

Dirac denklemi
Kuantum alan kuramı
Skalar alan
Schrödinger denklemi
Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

[değiştir] Dış bağlantılar

Lineer Klein-Gordon Denklemi at EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyasi, Rusya.
Gayri-Lineer Klein-Gordon Denklemi at EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyasi, Rusya.
Klein-Gordon denkleminin genellemesi ABD

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Klein-Gordon denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Konu başlıkları

[değiştir] Matematiksel Açılım

[değiştir] Göreli serbest parçacık çözümü

[değiştir] Aksiyom

[değiştir] Ayrıca bakınız

[değiştir] Dış bağlantılar

Views

Sitede yol bulma

proje

Ara

Diğer diller