Уравнение Клейна — Гордона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока):

$\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0.$

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где $\hbar=c=1$ ):

$(\partial^2 - m^2) \psi = 0.$

где ∂² — оператор Д'Аламбера.

- является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике).

Кроме прочего, легко видеть, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

в одномерном случае - натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний ("массовый") член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой ±mc² $/\hbar$ , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

Содержание

1 История
2 Вывод
3 Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы
4 Примечания
5 См. также
6 Внешние ссылки

[править] История

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после побликации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

[править] Вывод

(Здесь использованы естественные единицы где $\hbar=c=1$ ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

$\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi$

где $\hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla}$ — оператор импульса, оператор же $\hat{E} = i \partial_t$ - будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии. .

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское соотношение, связывающее энергию и импульс (из СТО):

$p^2 + m^2 = E^2\$

Тогда просто подставляя квантовомеханическиe оператор импульса и оператор энергии ^[1] - получаем:

$((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi$ ,

что в ковариантной форме запишется так:

$(\partial^2 - m^2) \psi = 0.$

где $\partial^2 = \nabla^2 - \partial_t^2$ — оператор Д'Аламбера.

[править] Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

$\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (т.е. любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

$\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$ ,

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на k и ω :

$-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}$

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определенной энергией и импульсом (т.е. является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (т.е. собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для нее просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

$\langle\mathbf{p}\rangle= \langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle = \langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}$

$\langle E\rangle= \langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle = \langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega$

Найденное соотношение k и ω тогда (снова) дает уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

$\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2$

Причем легко видеть, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определенной энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, т.е. для любого решения уравнения Клейна - Гордона (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить m=0 в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

$\left.\right. \langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c$

Использовав формулу групповой скорости $\mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\$ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде ^[2](очевиден только квадрат гамильтониана).

[править] Примечания

↑ Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения

$((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi$ ,

т.е. найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы еще более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля ψ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного ψ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым т.н. уравнение Дирака (все решения которого, кстати, являются и решениями уравнения Клейна - Гордона, но не обратно).
↑ см. примечание 1.