ฟังก์ชันเครื่องหมาย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย (sign function) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน

[แก้] นิยาม

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ x เป็นจำนวนจริง

$\sgn x = \begin{cases} -1 & \text{if } x < 0, \\ 0 & \text{if } x = 0, \\ 1 & \text{if } x > 0. \end{cases}$

[แก้] สมบัติต่างๆ

สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

$x = ( \sgn x ) |x| \,\!$

จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ x ไม่เท่ากับ 0

$\sgn x = {x \over |x|}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

${d |x| \over dx} = {x \over |x|} \,\!$

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

${d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x) \,\!$

ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) H_1/2(x) นั่นคือ

$\sgn x = 2 H_{1/2}(x) - 1 \,\!$

เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง H_1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

$\sgn x = -[x < 0] + [x > 0] \,\!$

สำหรับ k >> 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

$\sgn x \approx \tanh(kx)$

[แก้] ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

$\sgn z = {z \over |z|}$

ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ z มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

$\sgn z = \exp( i \arg z) \,\!$

โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ z เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ csgn ^[1] ซึ่งนิยามโดย

$\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\ -1& \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\ 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. \end{cases}$

ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า z = 0)

$\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}$

[แก้] ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป

ที่จำนวนจริง x เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ $\varepsilon (x)$ โดยนิยามให้ $\varepsilon(x)^2 = 1$ บนทุกๆ ค่าของ x รวมทั้งจุดที่ x = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ $s g n (0) 2 = 0$ ) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้ ^[2]

$\varepsilon(x) \delta(x)+\delta(x) \varepsilon(x) = 0 \,\!$

นอกจากนั้น $\varepsilon(x)$ ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ x = 0 ดังนั้นความหมายของ $\varepsilon$ จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ $\varepsilon(0)$ ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)