Obseg

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Za druge pomene glej Obseg (razločitev).

Obsèg je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat govorimo o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje (oval, superelipsa, konhoida kroga (Pascalov polž), srčnica, Cassinijeve jajčnice, lemniskate (Bernoullijeva, Boothova, Geronova, hipopeda), cikloide (epicikloida, hipocikloida), ipd).

[uredi] Mnogokotniki

Obseg mnogokotnika je vsota vseh njegovih stranic.

Obseg trikotnika s stranicami a, b in c je:

$o = a + b + c \,\! .$

Obseg štirikotnika s stranicami a, b, c in d je:

$o = a + b + c + d \,\! .$

Obseg enakostraničnega trikotnika in pravokotnika s stranicama a in b je:

$o = 2a + b \,\! ,$

$o = 2(a + b) \,\! .$

Obseg pravilnega mnogokotnika z n stranicami a je:

$o = na\,\! .$

Obseg enakostraničnega trikotnika in kvadrata s stranicama a je tako:

$o = 3a \,\! ,$

$o = 4a \,\! .$

[uredi] Krožnica

Obseg krožnice je dan z njenim premerom d ali s polmerom r:

$o = \pi d = 2\pi r \,\! ,$

oziroma s ploščino kroga S:

$o = 2 \sqrt {\pi S} \approx 3,544908 \sqrt{S} \,\! .$

Tu je π matematična konstanta pi.

[uredi] Elipsa

Približno je obseg elipse z glavnima polosema a in b:

$o \approx 2\pi \sqrt{ab} \,\!$ (Kepler, 1609)

$o \approx \pi (a+b) \,\! ,$

$o \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} \,\!$ (Euler, 1773)

$o \approx \pi \left[ \frac{a+b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right] \,\! ,$

$o \approx \pi \left[ \frac{3}{2} (a+b)-\sqrt{ab} \right] \,\!$

ali:

$o \approx \pi \sqrt{2(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}(a-b)^2} \,\! .$

Vsak približek je natančnejši od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal Ramanujan:

$o \approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] = \pi (a+b) \left[ 3 - \sqrt{4-h} \right] \,\! ,$

$o \approx \pi (a+b) \left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} {10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}} \right] = \pi \left(a+b\right)\left[1+\frac{3h} {10+\sqrt{4-3h}}\right] \,\! .$

kjer je h parameter:

$h = \lambda^2 \,\! , \qquad \lambda = \frac{a-b}{a+b} \,\! .$

Tudi tukaj je drugi približek natančnejši. Malo manj natančen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

$o \approx \pi (a+b) \left[1 + \frac{h}{8} \right]^2 \,\! .$

Obseg elipse s parametrom λ je:

$o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256} + \cdots \right] = \pi(a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}\right)^2 \lambda^{2n}\right] \,\! ,$

oziroma s parametrom h:

$o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{h}{4} + \frac{h^2}{64} + \frac{h^3}{256} + \frac{25h^4}{16384} + \frac{49h^5}{65536} + \cdots \right] = \pi(a+b) \sum_{n=0}^{\infty} {{1\over 2} \choose n}^2 h^n \,\! ,$