Legendrova transformacija
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Legendrova transformacija je v matematiki dvočlena aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.
Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:
Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v
Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot
Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):
- g = f - ux
Popolni diferencial te funkcije je enak
Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo
Pri tem velja
Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.
Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.