Web Analytics Made Easy - Statcounter

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions

Kongruenca - Wikipedija, prosta enciklopedija

Kongruenca

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Za kongruenco v geometriji glej: Skladnost

Kongruénca oziroma kongruénčna relácija je ekvivalenčna relacija.

Celi števili a in b sta kongruentni po modulu m (m je naravno število), če in samo če m deli razliko števil a in b.

Vsebina

1 Definicija
2 Lastnosti kongruenc
3 Pravila pri računanju s kongruencami
4 Uporaba kongruenc
- 4.1 Primer naloge
5 Zunanje povezave

[uredi] Definicija

$a,b\in \mathbb{Z}$ , $m\in{N}$ , $a\equiv b\mod(m)\Leftrightarrow m|a-b$

Primer: $7\equiv 2 \mod(5)$

[uredi] Lastnosti kongruenc

Kongruenca je ekvivalenčna relacija, velja namreč:

$a\equiv a \mod(m)$ - refleksivnost

$a\equiv b\mod(m)\Longrightarrow b\equiv a \mod(m)$ - simetričnost

$a\equiv b \mod(m)\and b\equiv c \mod(m)\Longrightarrow a\equiv c\mod(m)$ - tranzitivnost

[uredi] Pravila pri računanju s kongruencami

Iz definicije sledi da lahko kongruentna števila ali člene vedno zamenjujemo med seboj.

Naj za vse primere velja:

$a\equiv b\mod(m) \and c\equiv d\mod(m)$

[uredi] Seštevanje kongruenc

$a+c\equiv b+d\mod(m)$

$a\equiv b\mod(m) \and c\equiv d\mod(m)\Longrightarrow a-b=km, c-d=lm$

Zgoraj pridobljeni enačbi seštejemo:

$a-b+c-d=km+lm=m(l+k)\Longrightarrow a-b+c-d\equiv 0\mod(m)\Longrightarrow a+c\equiv b+d\mod(m)$

[uredi] Množenje kongruenc

$a\cdot c\equiv b\cdot d\mod(m)$

$ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)-d(a-b)=alm - dkm=m(al-dk)\Longrightarrow$

$ac-bd\equiv 0\mod(m) \Longrightarrow ac\equiv cd\mod(m)$

[uredi] Množenje kongruenc s celim številom

$az\equiv bz\mod(m), z\in\mathbb{Z}$

$a-b=km |\cdot z$

$az-bz=kmz\Longrightarrow az-bz\equiv 0\mod(m)\Longrightarrow az\equiv bz\mod(m)$

[uredi] Potenciranje kongruenc

$a\equiv b\mod(m)\Longrightarrow a^n\equiv b^n\mod(m), n\in\mathbb{N}_0$

Ta izrek je le posebni primer izreka o množenju kongruenc. Torej n-krat pomnožimo kongruenco samo s sabo in izrek je dokazan. Je pa ta izrek kot boste videli v nadaljevanju zelo pomemben.

[uredi] Uporaba kongruenc

Kongruence so uporabne predvsem v nalogah, kjer nastopajo števila prevelika za računanje z njimi brez računalnika. Tipične naloge, ki se jih navadno lotimo s kongruencami so:

dokazovanje ali spodbijanje deljivosti
ugotavljanje zadnje števke
ugotavljenje ostanka pri deljenju z nekim številom
uporaba v diofantskih enačbah

[uredi] Primer naloge

S katero števko se konča $32005$ ?

Ker iščemo zadnjo števko, gledamo število po modulu m=10. Velja seveda:

$3 \equiv 3 \mod(m)$

ali

$3^1\equiv 3\mod(m)$

in

$3^2\equiv 9\mod(m)$

$3^3\equiv 7\mod(m)$

$3^4\equiv 1\mod(m)$

Ker je 2005 = 4 * 501 + 1, velja

$3^{4 \cdot 501}\equiv 1\mod(m)$

ali

$3^{2004}\equiv 1\mod(m)$

pomnožimo obe strani s tri in to je rezultat

$3^{2005}\equiv 3\mod(m)$ .

[uredi] Zunanje povezave

http://www2.arnes.si/~mmlaka10/Clanki/clanki.htm

Kategorija: Relacije

Views

občestvo

podpora

Iskanje

V drugih jezikih

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -