Фильтр Чебышёва
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Линейные электронные фильтры |
---|
Фильтр Баттерворта |
Фильтр Чебышёва |
Эллиптический фильтр |
Фильтр Бесселя |
Фильтр Гаусса |
Фильтр Лежандра |
Фильтр Габора |
Править |
Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.
Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
Различают фильтры Чебышёва I и II родов.
Содержание |
[править] Фильтр Чебышёва I рода
Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:
где — показатель пульсаций, ω0 — частота среза, а Tn(x) — многочлен Чебышёва -го порядка.
В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) . В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального до минимального . На частоте среза ω0 коэффициент усиления имеет значение , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).
В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.
Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:
Пульсации в дБ = .
Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют .
Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jω в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.
[править] Полюса и нули
Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (ωpm) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:
- .
Представив − js = cos(θ) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:
- .
Разрешим последнее выражение относительно θ
- .
Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:
- spm = icos(θ) =
- .
Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:
-
- ,
где и
- .
Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром θn. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s = 0, полуось действительной оси имеет длину , а полуось мнимой оси имеет длину .
[править] Передаточная функция
Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра G. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:
где — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.
[править] Групповая задержка
Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.
[править] Фазовые характеристики
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.
[править] Временны́е характеристики
Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.
[править] Фильтр Чебышёва II рода
Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:
В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до
минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ω0. Параметр связан с затуханием в полосе подавления γ в децибелах следующим выражением:
Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ; для затухания в 10 дБ: . Частота fC = ωC / (2π) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ fH связана с fC следующим выражением:
- .
[править] Полюса и нули
Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов (ωpm) фильтра Чебышёва:
- .
Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:
-
- ,
где .
Нули (ωzm) фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::
- .
Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:
- ,
где .
[править] Передаточная функция
Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комлексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.
[править] Групповая задержка
Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.
[править] Фазовые характеристики
Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.
[править] Временные характеристики
Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.
[править] Цифровые фильтры Чебышёва
Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:
Z-преобразование каждого каскада:
- .
Во временной области преобразование записывается как:
Коэффициенты и подсчитываются из коэффициентов и :
Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.
[править] Сравнение с другими линейными фильтрами
Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:
По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.
[править] См. также
- Цифровая обработка сигналов
- Цифровая обработка изображений
- Электронный фильтр
- Решётчатый фильтр
- БИХ-фильтр
[править] Библиография
- В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
- Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
- Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
- Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
- Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
- B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
- S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
- Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
- J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
- L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
- Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
- A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
- L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
- John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X
[править] Ссылки
- Лекция по цифровой фильтрации
- Фильтры нижних частот
- Расчёт рекурсивных фильтров
- Сравнение линейных фильтров(англ.)
Эта статья входит в число хороших статей русского раздела Википедии. |