Факторкольцо
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Факторкольцо́ — в абстрактной алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца K по модулю его идеала J.
Обозначается K / J.
Классы вычетов по модулю идеала J определяются как смежные классы кольца K по аддитивной подгруппе J. Класс вычетов, содержащий элемент a обычно обозначается ![\mathrm{[a] = (a+J) = \{a+c|c\in J\}}](../../../../math/3/7/5/375a7a16bccddce4c78562cfd14763c6.png)
. Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.
Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:
- (a + J) + (b + J) = (a + b) + J
- (a + J)(b + J) = ab + J
Содержание |
[править] Связанные теоремы
- Теорема о гомоморфизме колец:
- Если f — гомоморфизм кольца K на кольцо R, то ядро kerf является идеалом кольца K, причём кольцо R изоморфно факторкольцу K / kerf.
- Обратно: если J — идеал кольца K, то отображение
, определяемое условием 
является гомоморфизмом кольца J на K / J с ядром J.
- Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.
- Факторкольцо
кольца 
целых чисел по модулю главного идеала, порождённого простым числом p, является полем.
- Идеал J кольца K является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо K / J является целостным кольцом (полем).
[править] Примеры
[править] См. также
- Факторгруппа
- Факторполе
[править] Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. Факториал, 2001. — 544 с.
- Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля (в двух томах). Мир, 1988. — 430 с.
 |
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
