Pierścień ilorazowy
Z Wikipedii
Pierścień ilorazowy to pojęcie teorii pierścieni analogiczne do pojęcia grupy ilorazowej w teorii grup.
Niech Q będzie ideałem pierścienia S. Relacja określona: jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S. Zbiór ilorazowy S / RQ z określonymi w nim działaniami:
- [a] + [b] = [a + b]
- [a][b] = [ab]
jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez S / Q i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia S przez ideał Q.
Pokazuje się, że dowolna relacja jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją RQ dla pewnego ideału Q.
[edytuj] Własności
Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.
- Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny.
- Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji [1].
- S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym.
- S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem maksymalnym.