Факторгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть $G$ — группа, и $H$ — её нормальная подгруппа , то есть для любого элемента $a\in G$ его правый и левый классы смежности совпадают:

a H = H a

Тогда на классах смежности $H$ в $G$ можно ввести умножение:

(a H)(b H) = a b H

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $a H = a' H$ и $b H = b' H$ то $a b H = a' b' H$ . Оно определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой $G$ по $H$ .

Факторгруппа обозначается $G / H$ .

[править] Свойства

Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма

Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\phi:G\to K$

$G / {\rm Ker} \phi \cong \phi (G)$ ,

т.е. фактор группы

G

по ядру

Kerφ

изоморфен её образу

φ(G)

K

Отображение $a \mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G \to G/H$ .
Порядок $G / H$ равен индексу подгруппы $[G : H]$ . В случае конечной группы $G$ он равен $| G | / | H |$ .
Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G / H$ будет обладать тем же свойством.
$G / G$ изоморфна тривиальной группе ( ${e}$ ), $G / e$ изоморфна $G$ .

[править] Примеры

Пусть $G$ = $\mathbb{Z}$ , $H$ = 2 $\mathbb{Z}$ , тогда $G / H$ изоморфна $\mathbb{Z}_2$ .

Пусть G = UT_n (группа невырожденных верхних треугольних матриц), H = SUT_n (группа верхних унитреугольных матриц), тогда G/H изоморфна группе диагональных матриц.