Уравнения Эйлера — Лагранжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления. С их помощью можно найти функции, на которых заданный функционал достигает экстремума. Эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия, используются для вычисления траекторий. Уравнение в некотором смысле сходно с теоремой дифференциального исчисления, утверждающей, что в точке, где первая производная функции обращается в нуль, функция достигает экстремума.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Содержание

1 Утверждение
2 Примеры
3 Многомерные вариации
4 История
5 Доказательство
6 Обобщение на случай с высшими производными
7 Внешние ссылки

[править] Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подинтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$ , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$ , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

[править] Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $\! (a, c)$ и $\! (b, d)$ . Тогда длина пути $\! y(x)$ , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L = \int_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Ланранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $\! y(a) = c$ , $\! y(b) = d$ , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

[править] Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа. Если $q (t)$ — путь в $n$ -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

Эта формулировка особенно полезна, когда $\! L$ является лагранжианом, поскольку результирующие уравнения — уравнения движения.

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции $n$ переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо поверхность, то

$J = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega$

доставляет экстремум если только $f$ удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f'_{x_i}} = 0.$

Если $n = 2$ и $L$ — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

[править] История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

[править] Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $\! f$ , которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$ , $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$ , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$ . Определим

$J(\varepsilon) = \int_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$ , то $\! J'(0)=0$ , то есть

$J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$ , получим

$0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда,т.к. $\! \eta(x)$ - любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

[править] Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от призводных $f$ порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

Если наложить граничные условия на $f$ и на её производные до порядка $n - 1$ включительно, а также предположить, что $F$ имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести уравнение Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-...+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

[править] Внешние ссылки

Eric W. Weisstein, Euler-Lagrange на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
Calculus of Variations на сайте PlanetMath.(англ.)
Summary with some historical information
Examples Задачи из вариационного исчисления.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Уравнения Эйлера — Лагранжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Утверждение

[править] Примеры

[править] Многомерные вариации

[править] История

[править] Доказательство

[править] Обобщение на случай с высшими производными

[править] Внешние ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках