Вариационное исчисление
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
См. также Вариация функции.
Вариационное исчисление — это раздел математики, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности.
Содержание |
[править] История
Одной из первых задач вариационного исчисления известных в истории была задача Дидоны. Другой исторической задачей вариационного исчисления, давшей толчок к развитию этого направления математики является задача о брахистохроне. Большой вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Лагранж.
[править] Уравнение Эйлера-Лагранжа
В случае идеальных условий максимум и минимум заданной функции может быть найден путем нахождения точек, в которых производная обращается в ноль. Аналогично решение гладких задач вариационного исчисления может быть получено путем решения соответствущего уравнения Эйлера-Лагранжа. Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу нахождения кратчайшей кривой на плоскости, соединяющей две точки (x1,y1) и (x2,y2). Длина кривой определяется выражением
где
и где y = f(x), f(x1) = y1 и f(x2) = y2. Функция f должна иметь хотя бы одну производную. Если f0 — локальный минимум и f1 — подходящая функция, обращающаяся в нуль в граничных точках x1 и x2 и имеющая хотя бы первую производную, тогда мы получим
для любого близкого к 0. Следовательно, производная по (первая вариация A) должна обращаться в ноль при . Таким образом
при любом выборе функции f1. Если мы предположим, что f0 имеет вторую непрерывную производную, тогда мы сможем воспользоваться формулой интегрирования по частям:
После замены
мы получим
но первое слагаемое обращается в ноль, поскольку v(x) = f1(x) было выбрано таким образом, чтобы обращаться в ноль в точках x1 и x2. Следовательно,
для любой дважды дифференцируемой функции f1, которая обращается в ноль на концах интервала. Это особый случай основной леммы вариационного исчисления:
для любой дифференцируемой функции f1(x), которая обращается в ноль на концах интервала. Поскольку f1(x) есть произвольная функция в интервале интегрирования, мы заключаем, что H(x) = 0. Следовательно,
Из этого уравнения следует, что
Таким образом, экстремум в нашей задаче доставляют отрезки прямых линий.
Подобные же вычисления можно провести и в общем случае, когда
и f должна иметь две непрерывные производные. Повторяя рассуждения, мы находим экстремаль f0, принимаем , находим производную по , затем подставляем :
Наконец, в силу основной леммы вариационного исчисления мы заключаем, что функция L должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа
В общем случае это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решив которое, можно найти экстремаль f. Уравнение Эйлера-Лагранжа является необходимым, но не достаточным условием наличия экстремума. Достаточные условия формулируются отдельно.
[править] Литература
- Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Кисилев А. И.. Вариационное исчисление, задачи и упражнения М.: Наука, 1973
- Эльсгольц Л. Э.. Дифферениальные уравнения и вариационное исчисление, М.: Наука, 1969
- Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В.. Оптимальное управление, М.: Наука, 1979
[править] См. также
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |