See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Вариационное исчисление — Википедия

Вариационное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

См. также Вариация функции.

Вариационное исчисление — это раздел математики, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности.


Содержание

[править] История

Одной из первых задач вариационного исчисления известных в истории была задача Дидоны. Другой исторической задачей вариационного исчисления, давшей толчок к развитию этого направления математики является задача о брахистохроне. Большой вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Лагранж.

[править] Уравнение Эйлера-Лагранжа

В случае идеальных условий максимум и минимум заданной функции может быть найден путем нахождения точек, в которых производная обращается в ноль. Аналогично решение гладких задач вариационного исчисления может быть получено путем решения соответствущего уравнения Эйлера-Лагранжа. Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу нахождения кратчайшей кривой на плоскости, соединяющей две точки (x1,y1) и (x2,y2). Длина кривой определяется выражением

 A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx,

где

 f'(x) = \frac{df}{dx}, \,

и где y = f(x), f(x1) = y1 и f(x2) = y2. Функция f должна иметь хотя бы одну производную. Если f0 — локальный минимум и f1 — подходящая функция, обращающаяся в нуль в граничных точках x1 и x2 и имеющая хотя бы первую производную, тогда мы получим

A[f_0] \le A[f_0 + \varepsilon f_1]

для любого \varepsilon близкого к 0. Следовательно, производная A[f_0 + \varepsilon f_1] по \varepsilon (первая вариация A) должна обращаться в ноль при \varepsilon=0. Таким образом

 \int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x) f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}dx =0, \,

при любом выборе функции f1. Если мы предположим, что f0 имеет вторую непрерывную производную, тогда мы сможем воспользоваться формулой интегрирования по частям:

\int_a^b u(x) v'(x)\,dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  u'(x) v(x)\,dx

После замены

u(x)=\frac{ f_0'(x)} {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}, \quad v'(x)=f_1'(x),

мы получим

 \left[ u(x) v(x) \right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2}  f_1(x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,

но первое слагаемое обращается в ноль, поскольку v(x) = f1(x) было выбрано таким образом, чтобы обращаться в ноль в точках x1 и x2. Следовательно,

\int_{x_1}^{x_2}  f_1(x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0

для любой дважды дифференцируемой функции f1, которая обращается в ноль на концах интервала. Это особый случай основной леммы вариационного исчисления:

 I =\int_{x_1}^{x_2} f_1(x) H(x) dx =0, \,

для любой дифференцируемой функции f1(x), которая обращается в ноль на концах интервала. Поскольку f1(x) есть произвольная функция в интервале интегрирования, мы заключаем, что H(x) = 0. Следовательно,

 \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0.\,

Из этого уравнения следует, что

\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0,

Таким образом, экстремум в нашей задаче доставляют отрезки прямых линий.

Подобные же вычисления можно провести и в общем случае, когда

 A[f] = \int_{x_1}^{x_2}  L(x,f,f') dx . \,

и f должна иметь две непрерывные производные. Повторяя рассуждения, мы находим экстремаль f0, принимаем f = f_0 + \varepsilon f_1, находим производную по \varepsilon, затем подставляем \varepsilon = 0:

 
\begin{align}
  \left.\frac{dA}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} 
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} f_1 + \frac{\partial L}{\partial f'} f'_1\right) dx \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} f_1 - f_1 \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} f_1 \right|_{x_1}^{x_2}\\
 & = \int_{x_1}^{x_2} f_1 \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) dx \\
 & = 0,
\end{align}

Наконец, в силу основной леммы вариационного исчисления мы заключаем, что функция L должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа

 -\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0,

В общем случае это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решив которое, можно найти экстремаль f. Уравнение Эйлера-Лагранжа является необходимым, но не достаточным условием наличия экстремума. Достаточные условия формулируются отдельно.

[править] Литература

Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Кисилев А. И.. Вариационное исчисление, задачи и упражнения М.: Наука, 1973
Эльсгольц Л. Э.. Дифферениальные уравнения и вариационное исчисление, М.: Наука, 1969
Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В.. Оптимальное управление, М.: Наука, 1979

[править] См. также



aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -