Точки Лагранжа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Более надёжна выверенная версия.
То́чки Лагра́нжа, также известные как то́чки либра́ции (от лат. libratio — качание, колебание) или L-точки — это такие точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, на которое не действуют никакие другие силы, кроме гравитационных сил со стороны этих двух массивных тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.
Более точно, точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении т. н. ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.
Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году обнаружил это решение.
Содержание |
[править] Расположение точек Лагранжа
Точки Лагранжа обозначают заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5.
Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L1, L2 и L3.
L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L2 — снаружи, за менее массивным телом и L3 — за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α расcчитываются по следующим формулам[1][2]
![r_1 = R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right]](../../../../math/7/8/1/781df01a57a83c59f1a6d434adee8cf8.png)
![r_2 = R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right]](../../../../math/4/6/8/4685ccb0ecd06ee6d79fdad791702633.png)
![r_3 = R \left[ 1 + \frac{5}{12} \alpha \right]](../../../../math/f/7/f/f7fc99565db1cb22c69031a65067f7f0.png)
где
,- R — расстояние между телами,
- M1 — масса более массивного тела,
- M2 — масса второго тела.
Если M2 много меньше M1, точки L1 и L2 находятся примерно на равном расстоянии от тела M2:
![r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}](../../../../math/a/a/8/aa8238630357939a5327ec9f4eb7b3d4.png)
Еще две точки (L4 и L5) расположены в вершинах равносторонних треугольников с основанием, совпадающим с отрезком, соединяющим два массивных тела. Если масса одного из этих тел много меньше массы другого, точки L4 и L5 расположены на орбите менее массивного тела, на 60° впереди и позади него. Эти точки называют треугольными или троянскими.
Примеры точки L2 в Солнечной системе:
- В системе Солнце–Земля — 1 500 000 км от Земли
- В системе Земля–Луна — 61 500 км от Луны
[править] Равновесие в точках Лагранжа
Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L1 слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот уменьшается. В результате, объект будет всё больше удалятся от положения равновесия.
Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L1 играет важную роль в тесных двойных звёздных системах: поскольку полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L1, при заполнении в процессе эволюции одной из звёзд-компаньонов своей полости Роша перетекание вещества с одной звезды на другую идёт через точку Лагранжа L1[3].
Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива[4].
В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M1/M2 > 24,96. При смещении объекта, возникают силы Кориолиса, которые искривляют траекторию и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации[1].
[править] Объекты Солнечной системы в точках Лагранжа
В системе Солнце — Юпитер в окрестностях точек L4 и L5 находятся так называемые троянские астероиды. Сейчас известно более сотни астероидов в точках L4 и L5.
В системе Сатурн — Тефия в точках L4 и L5 находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн — Диона: Елена в точке L4 и Полидевк в точке L5. Тетис и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
По некоторым наблюдениям, в точках L4 и L5 системы Земля — Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского.
Один из сценариев теории гигантского столкновения предполагает, что гипотетическая протопланета (планетезималь) Тейя, в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна, сформировалась в точке Лагранжа L4 или L5 системы Солнце — Земля[5].
[править] Практическое применение
Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L1 системы Земля—Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L2 подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L2 неосвещенной стороной. Точка L1 системы Земля—Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращенного к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землей.
В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены в различных точках Лагранжа Солнечной системы:[4]
- SOHO (англ. Solar and Heliospheric Observatory, «Солнечная и гелиосферная обсерватория») находится на орбите в точке L1 между Землёй и Солнцем.
- WMAP (англ. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), изучающий реликтовое излучение — в точке L2 за орбитой Земли.
- Advanced Composition Explorer — в точке L1 системы Земля—Солнце[6].
Космический телескоп Джеймса Вебба, идущий на смену телескопу Хаббла, планируют разместить в точке L2 системы Земля—Солнце. Запуск планируется на 2013 год[7].
[править] Упоминание в научной фантастике
- Основная статья: Точка Лагранжа в художественной литературе
Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» Гарри Гаррисона, телесериал Вавилон-5.
Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона). Айзек Азимов предлагал в точки Лагранжа отправлять радиоактивные отходы («Вид с высоты»).
[править] См. также
[править] Источники
- ↑ 1 2 Расчёт положения точек Лагранжа
- ↑ Расчёт положения точек L4 и L5 (другой вариант)
- ↑ Астронет > Тесные двойные звезды на поздних стадиях эволюции
- ↑ 1 2 WMAP Observatory - Lagrange points (NASA)
- ↑ Belbruno, E.; J. Richard Gott III (2005). "Where Did The Moon Come From?". The Astronomical Journal 129 (3): 1724-1745. arXiv:astro-ph/0405372
- ↑ ACE Mission Overview
- ↑ The James Webb Space Telescope (NASA)
