Статистический критерий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

[править] Определение

Пусть даны выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ , и семейство статистических гипотез $H_0,H_1,\ldots$ . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

$f: \mathbb{R}^n \to \{H_0,H_1,\ldots\}$ .

Таким образом каждой реализации выборки $\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)$ статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

[править] Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: $H_0: \quad a=a_0$ — нулевая гипотеза. $H_1: \quad a>a_0 \quad (a<a_0)$ или $a\neq a_0$ — конкурирующая гипотеза.

Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку факта о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости.

Критерии на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

[править] Основные понятия

[править] Простой пример

Пусть дана независимая выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top}$ , где $X_i \sim \mathrm{N}(\mu,1),\quad i=1,\ldots,n$ . Пусть есть две простые гипотезы: