Проективная плоскость
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т.н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.
Проективная плоскость над телом K это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K3. Данные прямые называются точками проективной плоскости.
Содержание |
[править] Классическая проективная плоскость
Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.
- П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
- П2. Любые две прямые имеют общую точку.
- П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
- П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек
Дополнительными аксиомами являются следующие:
- П5. Аксиома Дезарга. Если треугольники ABC и A'B'C' таковы, что прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A'B' (P), BC и B'C' (R), AC и A'C'(Q) лежат на одной прямой.
- П6. Аксиома Паппа (Паппа-Паскаля). Если l и l' две различные прямые, A,B,С - три различные точки на прямой l, а A',B',C' - три различные точки l', причём все эти точки отличны от О - точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB' и A'B (P), BC' и B'C (R), AC' и A'C (Q) лежат на одной прямой.
- П7. Аксиома Фано. Пусть A, B, C, D - точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Qи AD и BC через R (диагональные точки). Аксиома Фано гласит, что эти диагональные точки не лежат на одной прямой.
Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга то она есть проективная плоскость над некоторым телом K.
Если выполняется аксиома Паппа (и аксиомы П1-П4), то выполняется и аксиома Дезарга. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (т.е. тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.
Если аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5 выполняются то аксиома Фано выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом K характеристики ≠2.
[править] Топология вещественной проективной плоскости
Представим вещественную проективную плоскость P2(R) как множество прямых в R3 . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P2(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точка на отброшеной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D2 с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.
Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P2) =Z , H1(P2)=Z2 и H2(P2)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b0=0, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P2)=b0-b1+b2=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P2) (см. рис. слева) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 6, значит χ(P2)=6-15+6=1.
Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.
Фундаментальная группа π1(P2)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P2)=πn(S2) для n≥2.
[править] Литература
- Артин Э. Геометрическая алгебра. -М.:Наука, 1969
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. -М:Наука, 1979
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. -М:Наука, 1984
- Кокстер Г.С.М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
- Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. -М:Наука, 1966
- Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. -М:МГУ, 1998
- Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. -М.:Мир, 1970