Критерий согласия Пирсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Критерий Пирсона, или критерий $χ 2$ — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу $H 0$ о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения $F (x)$ . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение $F * (x)$ исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического $F * (x)$ и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

[править] Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

$\chi^2 = N \sum \frac{\left( P_i^{\mathrm{theor}} - P_i^{\mathrm{emp}} \right)^2}{P_i^{\mathrm{theor}}},$

где $P_i^{\mathrm{theor}} = \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, \mathrm{d} x$ — предполагаемая вероятность попадения в $i$ -й интервал, $P_i^{\mathrm{emp}} = \frac{n_i}{N}$ — соответствующее эмпирическое значение.

Эта величина в свою очередь является случайной(в силу случайности X) и должна подчиняться распределению $χ 2$ .

[править] Правило критерия

Перед тем, как сформулировать правило принятия или отвержения гипотезы необходимо учесть, что критерий Пирсона обладает правосторонней критической областью.

Правило.
Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения $\chi^2\!$ заданного уровня значимости $\alpha\!$ с $(k-1)\!$ или с $(k-p-1)\!$ степенями свободы, где k — число наблюдений или число интервалов (для случая интервального вариационного ряда), а p — число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза $H_0\!$ отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости $\alpha\!$ .