Задача Штурма — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Задача Штурма-Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений однородного уравнения

$L\left[ y \right] + \lambda \rho (x)y(x) = 0$ ,

удовлетворяющих однородным граничным условиям

$\begin{array}{l} \alpha _1 y'(0) + \beta _1 y(0) = 0 \\ \alpha _2 y'(l) + \beta _2 y(l) = 0 \\ \end{array}$ .

Значения $~\lambda$ , удовлетворяющие уравнению называются собственными значениями, а нетривиальные решения - собственными функциями этой задачи. Оператор $~L\left[ y \right]$ является линейным дифференциальным оператором и равен

$L\left[ y \right] \equiv \frac{d}{{dx}}\left[ {p(x)\frac{{dy}}{{dx}}} \right] - q(x)y(x)$

Данная задача обладает рядом замечательных свойств:

Существует бесконечное счетное множество $~\left\{ {\lambda _n } \right\}$ собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность $~ \left\{ {y_n \left( x \right)} \right\}$ собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины $~ \left| {\lambda _1 } \right| \le \left| {\lambda _2 } \right| \le ...$ .
Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
В случае граничных условий $~y\left( 0 \right) = y\left( l \right) = 0$ и при выполнении условия $~q\left( x \right) \ge 0$ все собственные значения краевой задачи положительны $~\lambda _n > 0$ .
Собственные функции $~y_n \left( x \right)$ образуют на $~ \left[ {0,l} \right]$ ортогональную с весом $~\rho \left( x \right)$ систему $~\left\{ {y_n \left( x \right)} \right\}$ :

$\int\limits_0^l {y_n \left( x \right)y_m \left( x \right)\rho \left( x \right)} dx = 0,~~n \ne m$