Teoría de Sturm-Liouville

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En matemáticas, la teoría de Sturm-Liouville, llamada así por Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882, es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma:

$-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y$

Donde las funciones $\ p(x), q(x), w(x)$ esta especificado en el inicio, y en el caso más simple son continuas en un intervalo finito cerrado $\ [a, b]$ . La formulación del problema viene generalmente con valores específicos de condiciones de frontera de $\ y, \frac{dy}{dx}, a, b$ . La función $w (x)$ es llamada función de densidad o función de peso.

El valor de $\ \lambda$ no se especifica en la ecuación; encontrar los valores de éstos lambda donde exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga condiciones de frontera se denomina problema de Sturm-Liouville (S-L).

Tales valores de lambda son llamados valores propios del problema de valores de frontera y están condicionadas por el conjunto de condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son funciones propias del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones $\ p(x), q(x), w(x)$ , éstas inducen operadores diferenciales hermitianos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asimtótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.

Tabla de contenidos

1 Teoría de Sturm-Liouville
2 Forma de Sturm-Liouville
- 2.1 Ejemplos
3 Operadores diferenciales Sturm-Liouville
4 Operadores de Sturm-Liouville como operadores Hermíticos
5 Véase también
6 Referencias

[editar] Teoría de Sturm-Liouville

Ésta teoría nos indica que en el caso de condiciones de frontera regulares de la forma:

(1) $y(a)\cos \alpha - p(a)y^{\prime}(a)\sin \alpha = 0$

(2) $y(b)\cos \beta - p(b)y^{\prime}(b)\sin \beta = 0$

donde $α,β$ están en el intervalo $\ [0, \pi [$ .

Los valores propios $\ \lambda_n$ del problema de Sturm-Liouville, donde $\ p(x)$ es diferenciable, las funciones $\ p(x), q(x), w(x)$ son continuas y las funciones $\ p(x), w(x)$ son positivas sobre las condiciones de frontera, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots < \lambda_n < \cdots \to \infty;$ .
A cada valor propio $\ \lambda_n$ le corresponde una única función propia $\ y_n(x)$ y $\ y_n(x)$ tiene exactamente $\ n-1$ ceros en la frontera $\ (a,b)$ .
Las funciones propias son mutuamente ortogonales y satisfacen la relación de ortogonalidad

(3) $\int_{a}^{b}y_n(x)y_m(x)w(x)\,dx = 0 , m \ne n,$

donde $\ w(x)$ es la función de peso.

Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortogonalidad

(4) $\int_{a}^{b}y_n(x)y_m(x)w(x)\,dx = \delta_{mn},$

donde $\ \delta_{mn}$ es la delta de Kronecker.

Los valores propios del problema de Sturm-Liouville puede ser caracterizado por el cuociente de Rayleigh

$\lambda_n = \frac{-p(x) y_{n}(x) y' _{n}(x)|_a^b + \int_a^b [p y'_{n}(x)^2 + q y_{n}(x)^2]\,dx}{\int_a^b y_{n}(x)^2 w(x)\, dx}$

[editar] Forma de Sturm-Liouville

La ecuación diferencial

$- {d\over dx}\left[p(x){d\over dx}y(x)\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)$

se dice que es de la forma de Sturm-Liouville o de la forma autoadjunta. Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser igualada en ambos lados de la ecuación al multiplicarle por un factor integrante apropiado.

[editar] Ejemplos

La ecuación de Bessel:

$\ x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0$

puede ser escrita en la forma de Sturm-Liouville así:

$(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0.\,$

La ecuación de Legendre:

$(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!$

puede ser transformada facilmente en una forma de Sturm-Lioville, si $\ D(1 - x^2) = -2x$ ; así la ecuación de Legendre equivalente es:

$[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!$

Otro ejemplo simple es una ecuación diferencial de la forma:

$\ x^3y''-xy'+2y=0$

Si dividimos para $\ x^3$ tenemos:

$y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0$

Multiplicando por un factor integrante:

$e^{\int -{x / x^3}\,dx}=e^{\int -{1 / x^2}\, dx}=e^{1 / x},$

nos da

$e^{1 / x}y''-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0$

que puede ponerse fácilmente en la forma de Sturm-Liouville así:

$D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2}$

que es equivalente a decir:

$(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.$

En general, dada una ecuación diferencial

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,$

dividida para $\ P(x)$ , multiplicada por un factor integrante tenemos la forma de Sturm-Liouville:

$e^{\int {Q(x) / P(x)}\,dx},$

[editar] Operadores diferenciales Sturm-Liouville

El operador lineal:

(5) $L u =-{d\over dx}\left[p(x){du\over dx}\right]+q(x)u$

puede ser vista como la transformación de una función $\ u$ en otra función $\ Lu$ . Se puede estudiar éste operador lineal en el contexto del análisis funcional. Si ponemos $\ w = 1$ en la ecuación (1), podemos escribirla:

(6) $L u = \lambda u \,.$

Éste es precisamente un problema de valores propios; donde se trata de hallar valores propios λ y vectores propios $\ u$ del operador $\ L$ . Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera. Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo $\ [0,1]$ y se pondra las condiciones de frontera $\ u(0) = u(1) = 0$ .

La importancia de problemas de valores propios esta en el hecho que nos ayuda a resolver problemas asociados inhomogéneos:

$L u = f \,$

en el intervalo $\ [0,1]$

$u = 0 \,$

en 0 y 1.

Aquí $\ f$ es la función en el espacio $\ L^2$ . Si una solución $\ u$ existe y es única, se la puede escribir de la forma:

$u = A f \,$

porque la transformación de $\ f$ a $\ u$ debe ser lineal. Ahora se observa que el hallar los vectores propios y los valores propios de $\ A$ es esencialmente lo mismo que hallar los vectores y valores propios de $\ L$ . Efectivamente, si $\ u$ es un vector propio de $\ L$ con valores propios $λ$ debe existir un $\ u$ que también es vector propio de $\ A$ con valores propios $\frac{1}{u}$ .

[editar] Operadores de Sturm-Liouville como operadores Hermíticos

Muchas de las propiedades de los operadores de Sturm-Liouville vienen del hecho que éstos son operadores hermitianos con respecto al producto interno:

$\langle u, v \rangle = \int_a^b w(x)u(x)v(x)dx.$

Y así los valores propios de los operadores de Sturm-Liouville son reales y que las funciones propias corresponden a diferentes valores propios son ortogonales.

[editar] Véase también

[editar] Referencias

A. Zettl, Sturm-Liouville Theory, American Mathematical Society, 2005. ISBN 0-8218-3905-5.
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003 (2nd edition). ISBN 1-58488-297-2

Categoría: Ecuaciones diferenciales

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