Semi-norma

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Em matemática, uma semi-norma consiste numa função que associa cada vetor de um espaço vetorial em um número real não negativo.

[editar] Definição

Seja $X\,$ um espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{K}$ (reais ou complexos). Uma semi-norma $p\,$ em $X\,$ toda função cujo domínio é $X\,$ e cujo contra-domínio são os reais não-negativos que satisfaça os seguintes axiomas:

$p(x) \ge 0,~~\forall x \in X \,$

$p(\alpha x)=|\alpha| p(x), ~~\forall x \in X , \forall \alpha \in \mathbb{K} \,$

$p(x+y) \le p(x)+p(y), ~~\forall x,y \in X \,$

Fique bem claro que toda norma é também uma semi-norma. À diferença de uma norma, pode acontecer $p(x)=0\,$ mesmo quando $x\neq 0\,$ .

Também é claro da definição que $p(\mathbf{0})= p(0\cdot \mathbf{0})= 0.p(\mathbf{0}) = 0\,$

[editar] Partição induzida por uma semi-norma

Seja $p\,$ uma semi-norma em $X\,$ , então pode-se definir a relação de equivalência:

$x \sim y \Longleftrightarrow p(x-y)=0$

Então pode-se definir uma norma no espaço quociente $X/\sim\,$ , como:

$\|[x]\|=p(x)\,$ , onde $x\,$ é qualquer elemento de sua classe de equivalência $[x]\,$ .

Este procedimento é largamente usado na análise funcional para construir espaços normados, como por exemplo o espaço Lp.

[editar] Ver também

Categorias: Álgebra linear | Análise funcional

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