Polinómios de Bernstein
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Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:
O conjunto forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se P(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:
Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.
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[editar] Exemplo
No caso dos polinômios de grau 3 a base é composta de:
Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:
[editar] Propriedades fundamentais
Estes polinômios possuem propriedades importantes:
- ,
- Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:
- ,
- Relação de recorrência:
- .
- Simetria:
- Produto:
- Derivada:
- ficando bem convencionado que
- Representação em grau superior:
- assume valor máximo no intervalo em . Este máximo é local se .
A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:
A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.
[editar] Representação de xk
Para obter uma representação de xk como polinômio de Bernstein, escreva:
Agora diferencie em relação a u e multiplique por u/n para obter:
se fizermos u = x e v = 1 − x, temos:
Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:
e teríamos obtido:
Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para :
[editar] Polinômio de Bernstein associado a uma função
Seja , o polinômio de Bernstein de grau n associado a f(x) é dado por:
Se f(x) for uma função contínua, então Pn(x) converge uniformemente para f(x) quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.