Parte inteira

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Em matemática, as funções ditas de parte inteira (chão e tecto, no Brasil teto) convertem números reais em inteiros desprezando a parte decimal.^[1]

A função chão de um número real x, denotada , é uma função que retorna o maior inteiro menor ou igual a x. Formalmente, para todos os reais x,

Por exemplo, chão(2.9) = 2, chão(−2) = −2 e chão(−2.3) = −3. Para x não negativo, o nome habitual da função é parte inteira ou valor inteiro de x. A função , também escrita como x mod 1, ou {x}, é chamada parte fraccionária de x.

A semelhante função tecto, denotada , retorna o menor inteiro que seja maior ou igual a 'x, ou seja,

Por exemplo, tecto(2.3) = 3, tecto(2) = 2 e tecto(−2.3) = −2.

Os nomes chão e tecto (floor e ceiling) foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962.^[2]

[editar] Propriedades da função chão

• Tem-se

com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.

• a função chão é idempotente: .
• Para qualquer inteiro k e real x,

• O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como chão(x + 0,5).
• A função chão não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
• Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ chão(x). A função chão é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
• Para os reais não inteiros, a função chão tem uma representação de série de Fourier

• Se m e n são inteiros positivos coprimos, então

• O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função chão.
• Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:

• É fácil ver que:

• e:

• Para qualquer inteiro k, verifica-se:

.

Notas