Função totiente de Euler

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A função φ de Euler.

A função totiente, ou função fi, – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores que x co-primos com respeito a ele. Matematicamente:

$\phi(x) = |\{n \in \mathbb{N} | n < x \and \mathrm{mdc}(n, x) = 1\}|$

Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8. A função é por vezes chamada função totiente de Euler, pois foi o matemático suíço Leonhard Euler quem a determinou. A função totiente é também chamada simplesmente por função fi, por ser essa (φ) a letra grega usada para representá-la.

A função totiente é importante principalmente porque fornece o tamanho do grupo multiplicativo de inteiros módulo n — mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do grupo de unidades do anel Z/nZ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a prova do teorema de Euler.

[editar] Calculando os valores da função

Se $n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$ , onde os $p_j\!\,$ são os fatores primos (distintos) de $n\!\,$ , então pode-se determinar o valor da função em $n\!\,$ :

$\varphi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}.$

A última fórmula é um produto de Euler e frequentemente se escreve como:

$\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$

sendo que este produto varia apenas sobre os primos distintos p que dividem n.

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[editar] Veja também

Função Divisor
Função de Carmichael

[editar] Bibliografia

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.