Wir potencjalny

Z Wikipedii

Wir potencjalny - pojęcie z zakresu mechaniki płynów.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Matematyczny opis wiru potencjalnego
4 Literatura

[edytuj] Definicja

Wirem potencjalnym jest taka struktura w ruchu płynu, w której linie prądu tworzą krzywe zamknięte (najczęściej kołowe), lecz zarazem, w przeciwieństwie do wiru rzeczywistego, rotacja prędkości płynu i jego prędkość kątowa są równe zeru:

$\; {\rm rot} \, \mathbf{u} = 0 \;$

$\; \mathbf{\omega} = 0 \;$

Wir potencjalny zwany jest również często pseudowirem.

[edytuj] Własności

Ruch płynu w obrębie pseudowiru ma charakter potencjalny. Podczas stacjonarnego ruchu w obrębie wiru potencjalnego cząstka płynu porusza się co prawda po linii zamkniętej (często kołowej), lecz zarazem nie ulega ona obrotowi.

Klasycznym przykładem ruchu potencjalnego po trajektorii kołowej jest ruch wagoników tzw. diabelskiego koła zawieszonych na jego obręczy na sworzniach tworzących zarazem łożyska.

[edytuj] Matematyczny opis wiru potencjalnego

W przepływie potencjalnym istnieje zawsze funkcja $\; \Phi(x,y) \;$ zwana potencjałem predkości, której pochodne przestrzenne są składowymi $\; u_x, \, u_y, \, u_z \;$ wektora prędkości płynu $\; \mathbf{u} \;$ :

$\; u_x = \frac{\partial \Phi}{\partial x} \;$

$\; u_y = \frac{\partial \Phi}{\partial y} \;$

$\; u_z = \frac{\partial \Phi}{\partial z} \;$

lub w skrócie:

$\; \mathbf{u} = {\rm grad} \, \Phi \;$

Wir potencjalny na płaszczyźnie $\; xy \;$ opisany jest najprościej przy pomocy nastepującego odwzorowania konforemnego na płaszczyżnie zespolonej:

$\; z = f(\zeta) = i \, {\ln} \, \zeta \;$

gdzie zmienne $\; z \;$ oraz $\; \zeta \;$ są zespolone, a $\; i \;$ jest jednostką urojoną.

Pamiętając o tym, że funkcja analityczna $\; f(\zeta) \;$ zmiennej zespolonej może być przedstawiona jako:

$\; f(\zeta) = \Phi(x, y) + i \, \Psi(x,y) \;$

gdzie $\; \Phi(x,y) \;$ jest potencjałem prędkości, a $\; \Psi(x,y) \;$ funkcją prądu i przedstawiając zmienną zespoloną $\; \zeta \;$ w postaci wykładniczej

$\; \zeta = r \, \exp (i \, \theta) \;$

gdzie $\; r \;$ jest modułem zmiennej zespolonej $\; \zeta \;$ , a $\; \theta \;$ jest jej argumentem, uzyskuje się rodzinę linii prądu opisanych wzorem