Ułamek łańcuchowy

Z Wikipedii

Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci:

$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\cdots+a_k}}}}$

gdzie a₀ jest liczbą całkowitą, a wszystkie liczby pozostałe liczby a_n są naturalne i większe od 0.

Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako:

$[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_k]\;$ .

Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima:

$a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} + \cdots$ .

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

$[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]=\lim_{k\to\infty}[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots, a_k]\;$ .

Jeżeli x jest wartością ułamka $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots]\;$ (skończonego lub nie), to $[a_0;a_1,a_2,\dots,a_n]\;$ nazywamy n-tym reduktem liczby x.

Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco:

$x=[[x];1/(x-[x])]\;$ ,