Twierdzenie o wiriale
Z Wikipedii
Twierdzenie o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale V = arn, średnie energie spełniają zależność
- .
Na przykład dla oscylatora harmonicznego V = kr2, a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale . Dla planety w polu grawitacyjnym V = − k / r, wobec tego .
Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często wyliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.
[edytuj] Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej
Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności. Będziemy korzystać z podstawowych własności komutatorów (przedstawione w osobnym artykule) oraz twierdzenia Ehrenfesta:
Podstawimy A = xp gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.
Żeby wyliczyć komutator [xp,H] wyliczymy najpierw [xp,T] gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.
Następnie wyliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.
W związku z tym:
Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:
Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:
gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Przyjmując V(x) = axn dostajemy twierdzenie wirialne.