ビリアル定理

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ビリアル定理(Virial theorem)とは、N粒子系において、粒子が動き得る範囲が有限である場合に、古典力学、量子力学系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。

$\left\langle K \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^N { \mathbf{P}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = \sum_{i=1}^N \left\langle { \mathbf{P}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = -{1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle$

Kは系全体の運動エネルギーで、P_iは粒子iの運動量、r_iは粒子iの位置座標、F_iは粒子iに働く力、m_iは粒子iの質量である。 $\left\langle \cdots \right\rangle$ は物理量の平均操作(一般に長時間平均)を意味する。

粒子iに働く力F_iが、系全体のポテンシャルエネルギー $V = V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)$ を用いて $\mathbf{F}_i = - \nabla_{\mathbf{r}_i} V (\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_i, \cdots, \mathbf{r}_N)$ と表せるならば、ビリアル定理は、

$\left\langle K \right\rangle = {1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \nabla_{\mathbf{r}_i} V \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle$

という形で表せる。

ポテンシャルエネルギーVが中心力ポテンシャルで、粒子間の距離のn+1乗(rⁿ⁺¹)に比例する形、すなわち、

$V(\mathbf{r}) = a\mathbf{r}^{n+1}$

という形で表せるならば、

$\left\langle K \right\rangle = {n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle$

となる。中心力が電磁気力や重力の場合を考えると、n = -2であるから、

$\left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2}\left\langle V \right\rangle$

となる。ビリアル定理から次の事が言える。

系全体の運動エネルギーKの時間平均は、系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均の-1/2に等しい。

また、同等のこととして、

系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均は、系全体の全エネルギーの時間平均に等しい。

系全体の運動エネルギーKの時間平均と系全体の全エネルギーの時間平均を加えた物は0。

と言う事が示される。

ビリアル定理という名前はビリアル(ラテン語で「力」の意)と呼ばれる値に由来している。ビリアルは $G = \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{p}_i$ によって定義される値で、1870年クラウジウスが命名した。

[編集] 応用

ビリアル定理を太陽系や銀河を始めとする、非常に複雑な物理体系（重力多体系）に適用することにより、計算結果を簡素化することができるので非常に便利である。

また、ビリアル定理が成り立つ場合、次式から系の圧力を求めることができる。

$P = {1 \over {3 V}} (2 \left\langle K \right\rangle + \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle )$

ここで、Pは圧力、Vは系の体積である。分子運動論では上式から圧力を求める。

[編集] 一般化

一般化されたビリアル定理を、超ビリアル定理(Hypervirial theorem)と言う。座標rと運動量P（互いに共役である）を考え、この２つの量を変数とした関数 $W(\mathbf{r},\mathbf{P})$ を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な境界条件の基で任意に選べるとする。ハミルトニアンをHとして、ポアッソンの括弧（参照→ハミルトン力学）の時間平均、