Równanie różniczkowe Bernoulliego
Z Wikipedii
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie różniczkowe postaci:
gdzie . Dla , równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.
[edytuj] Rozwiązanie równania
Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez yn, otrzymujemy wtedy:
Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną z = y1 − n. Wówczas z' = (1 − n)y − ny'. Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:
- ,
które jest równaniem liniowym niejednorodnym.
[edytuj] Przykład
Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:
Podzielmy obie strony równania przez , otrzymamy:
- .
Wprowadźmy zmienną , zatem . Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:
- .
Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.