Équation différentielle de Bernoulli
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L'équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle du premier ordre de la forme :
avec m différent de 0 et 1.
Où 
et I est un intervalle ouvert. En général m est un entier naturel, mais on peut prendre m réel à condition de prendre y strictement positif. En général, a et b sont des fonctions continues.
Cette équation a été proposée à la résolution par Jacques Bernoulli en 1695 et résolue un an plus tard par Leibniz par changement de variable se ramenant à une équation différentielle linéaire. C'est la méthode encore employée aujourd'hui pour résoudre cette équation.
En supposant y strictement positif sur l'intervalle I, on peut diviser l'équation par ym(x) et on obtient
En posant
on obtient l'équation différentielle linéaire
dont la solution générale est
ce qui donne pour la fonction 
Si la fonction y passe par le point 
alors la solution de cette équation est :
Des solutions peuvent être cherchées dans des fonctions non nécessairement positives, mais alors de nombreuses précautions sont à prendre quant aux domaines de validité.
[modifier] Sources
- une histoire des équations différentielles
- Cours de mathématiques (Tome 4) de J.Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudies
