Przestrzeń T0

Z Wikipedii

Przestrzeń $T 0$ to termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie $T 0$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa jako że były one wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady i własności
3 Zobacz też
4 Bibliografia

[edytuj] Definicja

Mówimy że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T 0$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń $X$ jest przestrzenią $T 0$ wtedy i tylko wtedy gdy różne jednopunktowe podzbiory $X$ mają różne domknięcia.

[edytuj] Przykłady i własności

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią $T 0$ .
Istnieją przestrzenie $T 0$ które nie są $T 1$ . Rozważmy na przykład przestrzeń $X = {a, b}$ z topologia $\tau_0=\big\{\emptyset,X,\{a\}\big\}$ (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa). Jest to przestrzeń $T 0$ ale nie $T 1$ .
Niech $X = {a, b}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną $\tau_1=\big\{\emptyset,X\big\}$ . Jest to przestrzeń topologiczna która nie jest $T 0$ .
Przestrzeń $Y= (0,1)\cup(1,2)$ , w której za zbiory otwarte uznamy $Y, \emptyset$ , $(0,1)$ i $(1,2)$ także nie jest przestrzenią $T 0$ .
Podzbiór przestrzeni $T 0$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T 0$ . Własność być przestrzenią $T 0$ jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T 0$ jest przestrzenią $T 0$ .