Przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa
Z Wikipedii
2-punktowa przestrzeń Aleksandrowa – przykład przestrzeni topologicznej podany przez rosyjskiego topologa Pawła Aleksandrowa. Przestrzeń ta jest również nazywana przestrzenią Sierpińskiego.
[edytuj] Definicja
Niech a,b będą dwoma różnymi punktami. Zauważmy, że rodzina
jest topologią na zbiorze A = {a,b}. Przestrzeń topologiczna (A,τ) nazywa się 2-punktową przestrzenią Aleksandrowa.
[edytuj] Własności
- Przestrzeń A jest (z dokładnością do homeomorfizmu) jedyną przestrzenią topologiczną dwuelementową różną od przestrzeni dyskretnej i antydyskretnej.
- Przestrzeń A spełnia aksjomat T0 (najsłabszy z aksjomatów oddzielania), ale nie spełnia aksjomatu T1.
- P. S. Aleksandrow pokazał, że każda przestrzeń T0 jest homeomorficzna z podprzestrzenią iloczynu tichonowowskiego kopii przestrzeni Aleksandrowa A. Inaczej mówiąc, każda przestrzeń T0 zanurza się homeomorficznie w potędze tichonowowskiej AE (gdzie zbiór E zależy od zanurzanej przestrzeni).
- Kazimierz Alster zauważył, że przestrzeń Aleksandrowa jest obrazem uniwersalnym dla klasy wszystkich topologicznych przestrzeni spójnych.
