Podstawa logarytmu naturalnego
Z Wikipedii
Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi:
e ≈ 2, | 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174... |
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Liczbę e można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
[edytuj] Granica ciągu
Jako granica ciągu, e jest określana przez
- Dowód, że ten ciąg jest zbieżny
Wykażemy, że ciąg jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Połóżmy . Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy'ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
- (*)
Rozważając oraz xn + 1 = 1 otrzymujemy
a stąd
- więc również i . Czyli ciąg (an)n jest niemalejący.
Połóżmy i zauważmy, że .
Z nierówności (*) zastosowanej do oraz xn + 2 = 1 otrzymujemy, że:
- .
Stąd a więc też . Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ , to możemy wywnioskować że ciąg (bn) jest nierosnący, a stąd
- .
Ciąg (an) jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez b1), a więc jest zbieżny.
[edytuj] Suma szeregu
Jako suma szeregu, e jest określana przez
gdzie n! jest silnią liczby n.
[edytuj] Przy pomocy całki
Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą f(t) = 1 / t od 1 do e jest równe 1).
[edytuj] Przy pomocy funkcji
Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji
- f(x) = x1 / x, x > 0
dla którego jej wartość jest największa.
[edytuj] Właściwości
- Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).
- e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji
- całka funkcji , gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
- Z przedziału (0; 1) wylosujmy liczbę rzeczywistą (z rozkładem jednostajnym), następnie drugą, trzecią... Liczby te dodajemy (pierwsza+druga+trzecia+...) i przerywamy działanie, gdy suma przekroczy 1. Wartość oczekiwana liczby wylosowanych składników wynosi e.
- Jest jednym z elementów tak zwanej najpiękniejszej równości, wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:
[edytuj] Inne wzory pozwalające obliczyć stałą e
[edytuj] Granice ciągów
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
[edytuj] Szeregi nieskończone
[edytuj] Iloczyny nieskończone
[edytuj] Kultura e
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"
- Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.
[edytuj] Inne interpretacje liczby e
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć , czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy , co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli e złotych.
[edytuj] Dowód niewymierności e
Używamy n-tego przybliżenia e, które zapisujemy en:
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że , gdzie 0 < θ < 1
Dowód przez zaprzeczenie:
Załóżmy, że e jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie .
W tym wzorze bierzemy tak duże n, żeby było większe od q.
Wówczas:
Mnożąc stronami przez n! dostajemy:
, więc
, więc
Zostały same liczby całkowite poza , która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności.
[edytuj] Zobacz też
- logarytm
- logarytm dziesiętny
- logarytm binarny
- funkcja wykładnicza
- wzór Eulera
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
[edytuj] Bibliografia
- Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989.
[edytuj] Linki zewnętrzne
- http://mathworld.wolfram.com/e.html
- http://planetmath.org/encyclopedia/EulerianNumber.html.
- http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil
Lista stałych matematycznych • Pi • Podstawa logarytmu naturalnego • Stała Eulera • Złoty podział • Srebrny podział • Stała Chinczyna • Stała Apéry'ego • Stała Feigenbauma • Stała de Bruijna-Newmana • Stała Meissela-Mertensa • Stałe Bruna • Stała Catalana • Stała Legendre'a • Stała Sierpińskiego