Metoda Monte Carlo
Z Wikipedii
 |
Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość. |
Metoda Monte Carlo (MC) jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych (obliczanie całek, łańcuchy procesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą podejścia analitycznego. Istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dotyczy rozkładów znanych skądinąd.
Typowym przykładem może być modelowanie wyniku zderzenia cząstki o wysokiej energii z jądrem złożonym, gdzie każdy akt zderzenia elementarnego (z pojedynczym nukleonem jądra) modelowany jest oddzielnie poprzez losowanie liczby, rodzaju, kąta emisji, energii itp. cząstek wtórnych emitowanych w wyniku takiego zderzenia. Następnym etapem jest modelowanie losu każdej z cząstek wtórnych (w wyniku kolejnego losowania prawdopodobieństwa oddziaływania lub wyjścia z jądra). Kontynuując taką procedurę można otrzymać pełny opis "sztucznie generowanego" procesu złożonego. Po zebraniu dostatecznie dużej liczby takich informacji można zestawić ich charakterystyki z obserwowanymi wynikami doświadczalnymi, potwierdzając lub negując słuszność poczynionych w całej procedurze założeń.
Metoda została opracowana i pierwszy raz zastosowana przez Stanisława Ulama.
Przykład całkowania metodą Monte Carlo:
Mamy obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością:
- czyli koła o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0).
- Losujemy n punktów z opisanego na tym kole kwadratu (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).
- Po wylosowaniu każdego z tych punktów sprawdzamy, czy jego współrzędne spełniają daną nierówność (tj. czy punkt należy do zadanej figury).
Po zakończeniu losowania otrzymujemy informację, że k z n strzałów było trafionych, naszym wynikiem jest k / n * P, gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole (tutaj 4).
Dokładność wyniku jest zależna od liczby sprawdzeń i w mniejszym stopniu, jakości użytego generatora liczb pseudolosowych.
Ta metoda całkowania jest używana w przypadkach, kiedy szybkość otrzymania wyniku jest ważniejsza od jego dokładności (np. obliczenia inżynierskie).
Poprawność metody Monte Carlo - poprawność metody Monte Carlo w przypadku liczenia pól lub całek można łatwo udowodnić stosując twierdzenie Picka (lub jego wielowymiarowe uogólnienia) do najlepszego wielokąta wpisanego w figurę której pole chcemy policzyć w przybliżeniu tzw. kryształu wirtualnego tzn. regularnej siatki punktów o stale sieci równej średniej odległości miedzy wylosowanymi punktami. Jak łatwo zauważyć w nieskończonej granicy tych wielokątów i siatek metoda jest dokładna dla dowolnego kształtu.
